浙江省杭州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集U是实数集R， $M = {x | | x | \geq 2} ， N = {x | 1 < x < 3}$ ，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 ${x | - 2 < x < 1}$ B、 ${x | - 2 < x < 2}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | x < 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $- 2 + i$ B、 $- 2 - i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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3. 已知 $a = \log_{2} 0.2 ， b = 2^{0.2} ， c = \sin 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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4. 风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼，记鳙鱼在湖中的游速为 $v m/s$ ，鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为 $x$ ，已知鳙鱼的游速 $v$ 与 $\log_{2} \frac{x}{100}$ （ $x \geq 100$ ）成正比，当鳙鱼的耗氧量为200单位时，其游速为 $\frac{1}{2} m/s$ ．若某条鳙鱼的游速提高了 $1 m/s$ ，那么它的耗氧量的单位数是原来的（）

A、2倍 B、4倍 C、6倍 D、8倍

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5. 两个体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则“ $V_{1} = V_{2}$ ”是“ $S_{1} = S_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 如图，一个半径为2的水轮，圆心 $O$ 距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分钟逆时针旋转4圈．水轮上的点 $P$ 到水面的距离 $y$ （米）与时间 $x$ （秒）满足 $y = A \sin (ω x + φ) + k$ （ $A > 0$ ），则（）

A、 $ω = \frac{2 π}{15}$ B、 $A = 3$ C、 $k = 2$ D、 $φ = 0$

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7. 如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中正方形 $A B C D$ 的边长为1， $∠ D A E = θ$ ，则小正方形 $E F G H$ 的面积为（）

A、 $1 - \sin 2 θ$ B、 $1 - \cos 2 θ$ C、 $1 - 2 \sin θ$ D、 $1 - 2 \cos θ$

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8. 若 $x_{0} \in R$ ， $Δ x > 0$ ，函数 $f (x)$ 满足 $\frac{f (x_{0} + Δ x)}{f (x_{0})} = \frac{f (x_{0} + 2 Δ x)}{f (x_{0} + Δ x)} = \frac{f (x_{0} + 3 Δ x)}{f (x_{0} + 2 Δ x)} = \cdot \cdot \cdot = \frac{f (x_{0} + n Δ x)}{f (x_{0} + (n - 1) Δ x)}$ ， $n \in N^{*}$ ，则函数 $y = f (x)$ 可能是（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）（）

A、 $f (x) = a x$ B、 $f (x) = x^{a}$ C、 $f (x) = a^{x}$ D、 $f (x) = \log_{a} x$

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二、多选题

9. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集是 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，则（）

A、 $b < 0$ B、 $a + b + c > 0$ C、 $c > 0$ D、 $a + b = 0$

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10. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{13}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ ，则（）

A、 $| \vec{b} | = 4$ B、向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 7$ D、向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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11. 已知某湖泊蓝藻面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与时间 $t$ （单位：月）满足 $y = a^{t}$ ．若第1个月的蓝藻面积为 $2 m^{2}$ ，则（）

A、蓝藻面积每个月的增长率为100% B、蓝藻每个月增加的面积都相等 C、第6个月时，蓝藻面积就会超过 $60 m^{2}$ D、若蓝藻面积到 $2 m^{2}$ ， $3 m^{2}$ ， $6 m^{2}$ 所经过的时间分别是 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} = t_{3}$

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12. 某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为 $\frac{4 π}{3}$ ，金属底座是由边长为4的正三角形 $A B C$ 沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（）

A、A ，B，D，F四点共面 B、经过A，B，C三点的截面圆的面积为 $\frac{π}{4}$ C、直线 $A D$ 与平面 $D E F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、奖杯整体高度为 $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} + 1$

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三、填空题

13. 已知 $\lg 2 = a$ ， $\lg 3 = b$ 则 $\log_{2} 12 =$ （请用a，b表示结果）

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14. 半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为 $20 \sqrt{2} cm$ ，则此石凳的体积是 ${cm}^{3}$ ．

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15. 已知区间 $(0 ， 1)$ 中的实数 $m$ 在数轴上的对应点为 $M$ ，如图1；将线段 $A B$ 围成一个圆（端点 $A$ ， $B$ 重合），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 $y$ 轴上，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 1)$ ，如图3．直线 $A M$ 与 $x$ 轴交于点 $N (n ， 0)$ ，把 $m$ 与 $n$ 的函数关系记作 $n = f (m)$ ，则方程 $f (x) = - 1$ 的解是 $x =$ ．

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16. 已知 $| \vec{m} | = 1$ ，向量 $\vec{n}$ 满足 $| \vec{n} - \vec{m} | = \vec{n} \cdot \vec{m}$ ，当向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 夹角最大时， $| \vec{n} | =$ ．

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四、解答题

17. 在①a= $\sqrt{2}$ ，②S= $\frac{c}{2}$ cosB ， ③C= $\frac{π}{3}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.
问题：在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，面积为S ， $\sqrt{3}$ bcosA=acosC+ccosA ， b=1， ▲ ，求c的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 如图，在 $△ O A B$ 中， $P$ 为边 $A B$ 上的一点 $\vec{B P} = 2 \vec{P A}$ ， $| \vec{O A} | = 6$ ， $| \vec{O B} | = 2$ 且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $60 °$ .

(1)、设 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，求 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、求 $\vec{O P} \cdot \vec{A B}$ 的值.

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19. 四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都相等， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ．

(1)、求证： $A A_{1} ⊥ B D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $A A_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值．

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20. 如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图像， $f (0) = f (\frac{5 π}{6})$ ， $f (\frac{π}{6}) = 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ ，得函数 $g (x)$ ，记 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，求 $h (x)$ 的单调递减区间．

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21. 将一张长 $8 cm$ ，宽 $6 cm$ 的长方形纸片沿着直线 $M N$ 折叠，折痕 $M N$ 将纸片分成两部分，面积分别为 $S_{1} {cm}^{2}$ ， $S_{2} {cm}^{2}$ ．设 $M N = l cm$ ．若 $S_{1} ： S_{2} = 1 ： 2$ ，求 $l$ 的取值范围．

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22. 设函数 $f (x) = x | x - a | + a | x - 2 |$ （ $a > 0$ ），方程 $f (x) = t$ 有三个不同的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、当 $t = 2$ 时，求正数 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，若 $\frac{x_{2} x_{3}}{x_{1}} > λ$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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