广东省中山市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{A B} = (2 ， 1) ， \vec{A C} = (3 ， t)$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （　　）

A、2 B、3 C、7 D、8

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2. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c = 2 a \cdot \cos B$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定为（）

A、锐角三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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3. 某水平放置的 $△ O A B$ 用斜二测画法得到如图所示的直观图 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ ，若 $O^{'} B^{'} = A^{'} B^{'}$ ，则 $△ O A B$ 中（）

A、 $∠ O B A = 90 °$ B、 $O B = B A$ C、 $O B = O A$ D、 $O B > O A$

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4. 上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：

黄赤交角	$23 ° 41^{'}$	$23 ° 57^{'}$	$24 ° 13^{'}$	$24 ° 28^{'}$	$24 ° 44^{'}$
正切值	0.439	0.444	0.450	0.455	0.461
年代	公元元年	公元前2000年	公元前4000年	公元前6000年	公元前8000年

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是

A、公元前2000年到公元元年 B、公元前4000年到公元前2000年 C、公元前6000年到公元前4000年 D、早于公元前6000年

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5. 已知m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ . B、若 $m // n$ ， $n \subset β$ ，则 $m // β$ . C、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ . D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ .

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6. 2020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强生健体，青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远 $200 cm$ 以上成绩为及格， $255 cm$ 以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（）

A、72.5%，5% B、78.75%，10% C、72.5%，10% D、78.75%，5%

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7. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：
①甲地：5个数据的中位数为24，极差不超过2；

②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．

其中肯定进入夏季的地区有（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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8. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（Platonic solids）．某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为（）

A、30 B、20 C、12 D、10

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二、多选题

9. 对于任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ D、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a + b) ： (a + c) ： (b + c) = 9 ： 10 ： 11$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\sin A ： \sin B ： \sin C = 4 ： 5 ： 6$ B、 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的2倍 D、若c=6，则△ABC外接圆半径为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$

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11. 为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．

阅读量人数学生类别		$[0 ， 10)$	$[10 ， 20)$	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， + \infty)$
性别	男	7	31	25	30	4
性别	女	8	29	26	32	8
学段	初中		25	36	44	11
学段	高中

下面推断合理的是（）

A、这200名学生阅读量的平均数可能是26本； B、这200名学生阅读量的75%分位数在区间

[30 ， 40)

内； C、这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间

[20 ， 30)

内； D、这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间

[20 ， 30)

内．

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12. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的．从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 $109 ° 2 8^{'}$ ，这样的设计含有深刻的数学原理．我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》，用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱 $A B C D E F - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 的三个顶点 $A$ ， $C$ ， $E$ 处分别用平面 $B F M$ ，平面 $B D O$ ，平面 $D F N$ 截掉三个相等的三棱锥 $M - A B F$ ， $O - B C D$ ， $N - D E F$ ，平面 $B F M$ ，平面 $B D O$ ，平面 $D F N$ 交于点 $P$ ，就形成了蜂巢的结构．

如图，设平面 $P B O D$ 与正六边形底面所成的二面角的大小为 $θ$ ，则下列结论正确的有（）

A、异面直线 $D O$ 与 $F P$ 所成角的大小为 $109 ° 2 8^{'}$ B、 $B F < M N$ C、 $B$ ， $M$ ， $N$ ， $D$ 四点共面 D、 $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{3} \tan 54 ° 4 4^{'}$

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三、填空题

13. 将函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则平移后函数图象的解析式为；平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是．

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14. 新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动、开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查，已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人．抽取的样本中高二年级有50人，则该校高二学生总数是人．

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15. 若 $\frac{\cos 2 α}{\sin (α - \frac{π}{4})} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\sin α + \cos α$ 的值为．

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D = 1$ ，点 $M ， N$ 分别是边 $A D ， B C$ 的中点，延长 $B A$ 和 $C D$ 交 $N M$ 的延长线于不同的两点 $P ， Q$ ，则 $\overset{⇀}{P Q} \cdot (\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{D C})$ 的值为．

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四、解答题

17. 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：
甲：102　101　99　98　103　98　99

乙：110　115　90　85　75　115　110

试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．

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18. 空间四边形 $P A B C$ 中， $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 两两互相垂直， $∠ P B A = 45 °$ ， $∠ P C A = 30 °$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求 $B C$ 与平面 $P A B$ 所成的角；

(2)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P M C$ .

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19. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\cos β = - \frac{1}{3}$ ， $\sin (α + β) = \frac{7}{9}$ ．

(1)、求 $\tan \frac{β}{2}$ 的值；

(2)、求 $\sin α$ 的值．

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20. 已知 $△ A B C$ 中， $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ 且 ${\vec{A B}}^{2} = \vec{A B} \cdot \vec{A C} + \vec{B A} \cdot \vec{B C} + \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ .

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并求 $\sin A + \sin B$ 的取值范围；

(2)、如图，三角形 $A ， B ， C$ 的顶点 $A ， C$ 分别在 $l_{1} ， l_{2}$ 上运动， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ，若直线 $l_{1} ⊥$ 直线 $l_{2}$ ，且相交于点 $O$ ，求 $O$ ， $B$ 间距离的取值范围.

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21. 2021年广东省高考实行“3+1+2”模式．“3+1+2”模式是指：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目．并规定：化学、生物、政治、地理4个选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B⁺ ， B，C⁺ ， C，D⁺ ， D，E八个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到

[91 ， 100]

，

[81 ， 90]

，

[71 ， 80]

，

[61 ， 70]

，

[51 ， 60]

，

[41 ， 50]

，

[31 ， 40]

，

[21 ， 30]

八个分数区间，得到考生的等级成绩．、

假设小明转换后的等级成绩为 $x$ 分，则 $\frac{69 - 61}{61 - 58} = \frac{70 - x}{x - 61}$ ，所以 $x = 63.45 \approx 63$ （四舍五入取整），小明最终成绩为63分．

某校2019级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中化学成绩获得等级 $A$ 的学生原始成绩统计如下

成绩	93	91	90	88	87	86	85	84	83	82
人数	1	1	4	2	4	3	3	3	2	7

(1)、求化学获得等级A的学生等级成绩的平均分（四舍五入取整数）；

(2)、从化学原始成绩不小于90分的学生中任取2名同学，求2名同学等级成绩不相等的概率．

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22. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $G$ 在棱 $D_{1} C_{1}$ 上，且 $D_{1} G = \frac{1}{4} D_{1} C_{1}$ ，点 $E$ 、 $F$ 、 $M$ 分别是棱 $A A_{1}$ 、 $A B$ 、 $B C$ 的中点， $P$ 为线段 $B_{1} D$ 上一点， $A B = 4$ ．

(1)、若平面 $E F P$ 交平面 $D C C_{1} D_{1}$ 于直线 $l$ ，求证： $l // A_{1} B$ ；

(2)、若直线 $B_{1} D ⊥$ 平面 $E F P$ ，试作出平面 $E G M$ 与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹；设平面 $E G M$ 与棱 $A_{1} D_{1}$ 交于点 $Q$ ，求三棱锥 $Q - E F P$ 的体积．

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