广东省肇庆市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $z = \frac{3 + i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $1 + 2 i$

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2. 某单位有200名职工，其中女职工有60人，男职工有140人，现要从中抽取30人进行调研座谈，如果用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样，则应抽女职工（）

A、6人 B、9人 C、10人 D、30人

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3. 在 $△ A B C$ 中， $a = 6$ ， $b = 4$ ， $A = 120 °$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (k - 1 ， k)$ ， $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、-1

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5. 已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.7.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2表示没有击中目标， 3，4，5，6，7，8，9表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果.经随机模拟产生了以下20组随机数：
$\begin{array}{l} 572 & 029 & 714 & 985 & 034 & 437 & 863 & 964 & 141 & 469 \\ 037 & 623 & 261 & 804 & 601 & 366 & 959 & 742 & 671 & 428 \end{array}$

据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（）

A、0.6 B、0.7 C、0.75 D、0.8

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6. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $B C_{1}$ 与 $A E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、0 D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 4$ ， $\tan A = \frac{\sqrt{7}}{3}$ ，当 $C$ 有两解时， $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{7} ， 4)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(\sqrt{7} ， 3)$ D、 $(3 ， 4]$

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8. 平面四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形，且 $∠ A = 120^{\circ}$ ，点 $N$ 是 $D C$ 边上的点，且 $\vec{D N} = 3 \vec{N C}$ ，点 $M$ 是四边形 $A B C D$ 内或边界上的一个动点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最大值为（）

A、1 B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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二、多选题

9. 已知 $m$ ， $n$ 为不同的直线， $α$ ， $β$ 为不同的平面，下列命题为真命题的有（）

A、 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β \Rightarrow α / / β$ B、 $m / / n$ ， $n \subset α \Rightarrow m / / α$ C、 $m ⊥ α$ ， $m \subset β \Rightarrow α ⊥ β$ D、 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α \Rightarrow m / / n$

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10. 已知在一次射击预选赛中，甲､乙两人各射击10次，两人成绩(所中环数越大，成绩越好)的频数分布表分别为：

环数	5	6	7	8	9	10
甲中频数	0	1	2	4	3	0
环数	5	6	7	8	9	10
乙中频数	1	2	2	2	2	1

下面判断正确的是（）

A、甲所中环数的平均数大于乙所中环数的平均数 B、甲所中环数的中位数小于乙所中环数的中位数 C、甲所中环数的方差小于乙所中环数的方差 D、甲所中环数的方差大于乙所中环数的方差

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11. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ 和 $D C$ 的中点， $P$ 是 $D E$ 与 $B F$ 的交点，则有（）

A、 $\vec{A E} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A P} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\vec{C P} = \frac{1}{2} \vec{C D} + \frac{1}{2} \vec{C B}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是线段 $A C$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $D_{1} E$ 与 $B_{1} D$ 相交时，交点为 $B_{1} D$ 的中点 B、当点 $E$ 在 $A C$ 上移动时， $D_{1} E //$ 平面 $A_{1} C_{1} B$ 始终成立 C、当点 $E$ 在 $A C$ 上移动时， $D_{1} E ⊥ D B_{1}$ 始终成立 D、当 $D_{1} E$ 最短时，直线 $D_{1} E$ 与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所有面所成角都相等

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三、填空题

13. 在机动车驾驶证科目二考试中，甲.乙两人通过的概率分别为0.8和0.6两人考试相互独立，则两人都通过的概率为.

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14. 已知i是虚数单位，若 $- 2 + i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + p = - 1$ 的一个根，则实数 $p =$ .

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15. 三棱锥 $A - B C D$ 的 $4$ 个顶点都在球 $O$ 的表面上，已知△ $B C D$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $D$ 在边 $a$ 上，且 $B D = 2 D C$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $A D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 3$ ， $\vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{b} - λ \vec{a}) = 1$ .

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、记向量 $\frac{1}{2} \vec{b}$ 与向量 $\frac{3}{2} \vec{b} - \vec{a}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos 2 θ$ .

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18. 在① $c = \sqrt{17}$ ，② $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{2}$ ，③ $A = \frac{π}{6}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求 $b$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $3 \sin B = 2 \sin A$ ， $3 \cos B - 3 a = b$ ， ▲ ？

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A P ⊥$ 平面 $C D P$ ， $M$ 是 $P C$ 上的一个动点.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、是否存在点 $M$ ，使 $A P / /$ 平面 $B D M$ ？若存在，确定点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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20. 某中学演讲社团共有6名同学，其中来自高一年级的有一女两男，来自高二年级的有两女一男.

(1)、若从这6名同学中随机选出两人参加演讲比赛，
（i）求高二年级的男生被选中的概率；

（ii）求其中至少有一名男生的概率；

(2)、若从每个年级的3名同学中各任选1名，求选出的2名同学性别相同的概率.

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21. 一家商场根据以往某商品的销量记录绘制了日销量的频率分布直方图，但工作人员不小心滴到直方图上一滴墨水，如下图.

(1)、求直方图中被墨水污损的数字的值；

(2)、由直方图估计日销量的平均数､众数和 80% 分位数.( 80% 分位数精确到小数点后两位)

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22. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为 $2$ ， $B C ⊥ A B_{1}$ ，二面角 $A - B C - B_{1}$ 为 $120 °$ .

(1)、求直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离.

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