2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题二方程与不等式 2.4 分式方程

试卷更新日期：2021-08-27 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 有下列方程：① $2 x + \frac{x - 1}{5} = 10$ ；② $x - \frac{1}{x} = 2$ ；③ $\frac{1}{2 x + 1} - 3 = 0$ ；④ $\frac{2 x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 0$ ．属于分式方程的有（）

A、①② B、②③ C、③④ D、②④

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2. 解分式方程 $\frac{2}{x - 1} + \frac{x + 2}{1 - x} = 3$ 时，去分母后变形为

A、 $2 + (x + 2) = 3 (x - 1)$ B、 $2 - x + 2 = 3 (x - 1)$ C、 $2 - (x + 2) = 3 (1 - x)$ D、 $2 - (x + 2) = 3 (x - 1)$

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3. 若解分式方程 $\frac{x + 1}{x - 4} = \frac{m}{x - 4}$ 产生增根，则 $m =$ （）

A、5 B、0 C、4 D、-5

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4. 已知关于x的分式方程 $\frac{x + m}{x - 3}$ ﹣1＝ $\frac{1}{x}$ 无解，则m的值是（）；

A、﹣2 B、﹣3 C、﹣2或﹣3 D、0或3

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5. 解方程 $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1$ 时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为 $x = 2$ ，则方程正确的解是（）

A、 $x = - 3$ B、 $x = - 2$ C、 $x = \frac{1}{3}$ D、 $x = - \frac{1}{3}$

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6. 用换元法解分式方程 $\frac{x + 1}{x} + \frac{6 x}{x + 1} = 5$ ，如果设 $\frac{x + 1}{x} = y$ ，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）

A、 $y + \frac{6}{y} = 5$ B、 $y^{2} + 5 y + 6 = 0$ C、 $y^{2} - 5 y + 6 = 0$ D、 $y^{2} + 6 y - 5 = 0$

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7. 某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（）

A、 $\frac{120}{x - 2}$ ＝ $\frac{120}{x}$ ﹣3 B、 $\frac{120}{x}$ ＝ $\frac{120}{x + 2}$ ﹣3 C、 $\frac{120}{x}$ ＝ $\frac{120}{x - 2}$ ﹣3 D、 $\frac{120}{x + 2}$ ＝ $\frac{120}{x}$ ﹣3

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8. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 2} - \frac{a + 8}{2 - x} = - 3$ 的解为非负整数，且一次函数 $y = (a - 6) x + 14 + a$ 的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、-22 B、-12 C、-14 D、-8

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9. 若整数a使关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} (x - 4) + \frac{x}{2} \geq 3 \\ \frac{a - x}{4} \geq 0 \end{array}$ 无解，且使关于x的分式方程 $\frac{a x}{x - 3} + \frac{3}{3 - x} = 2$ 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（）

A、2 B、3 C、 $- 3$ D、8

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10. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ $\frac{1}{x}$ （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 $\frac{1}{x}$ ，矩形的周长是2（x+ $\frac{1}{x}$ ）；当矩形成为正方形时，就有x= $\frac{1}{x}$ （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ $\frac{1}{x}$ ）=4最小，因此x+ $\frac{1}{x}$ （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 $\frac{x^{2} + 9}{x}$ （x＞0）的最小值是（）

A、2 B、1 C、6 D、10

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二、填空题

11. 分式方程 $\frac{x}{2 x - 1} - \frac{5}{1 - 2 x} = 2$ 的实数根为．

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12. 若关于x的分式方程 $2 - \frac{1 - k}{x - 2} = \frac{1}{2 - x}$ 的解是正数，则k的取值范围是.

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13. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{x - 4}{x - 3} - k - 4 = \frac{k}{3 - x}$ 无解，则k的值为.

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14. 甲、乙二人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成，若两人合作，则8天可以完成，设甲单独工作x天完成，列方程得．

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15. 某校八年级学生到离学校 $15$ 千米的青少年营地举行庆祝 $14$ 岁生日活动，先遣队与大部队同时出发，已知先造队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计比大部队早半个小时到达目的地，如果设大部队的行进速度为 $x$ 千米/时，那么根据题意，列出的方程为．

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16. 某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为．

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17. 2020 年新冠肺炎疫情影响全球各国感染人数持续攀升．医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来．长沙某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的1.5倍．两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求乙厂房每天生产多少箱口罩？设乙厂房每天生产x箱口罩，依题意可得方程为：

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18. 我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如 $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{20} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ，……请用观察到的规律解方程 $\frac{2}{x (x + 1)} + \frac{2}{(x + 1) (x + 2)} + ... + \frac{2}{(x + 9) (x + 10)} = \frac{5}{x + 10}$ ，该方程的解是

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三、计算题

19. 解分式方程：

(1)、 $\frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x} = 0$

(2)、 $\frac{1}{x - 2} = \frac{1 - x}{2 - x} - 3$

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20. 解方程

(1)、 $\frac{5}{x - 1} = \frac{1}{2 x + 1}$

(2)、 $\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{1 - x}{2 - x}$

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四、解答题

21. 若关于x的方程 $\frac{m}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 3}$ 有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．

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22. 若关于x的方程： $\frac{3}{x - 3} + \frac{a x}{x^{2} - 9} = \frac{4}{x + 3}$ 无解，求a的值．

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23. 若数 $a$ 使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{x - 1} + \frac{a}{1 - x} = 3$ 的解为正数，且使关于 $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y + 2}{3} - \frac{y}{2} > 1 \\ 2 (y - a) \leq 0 \end{array}$ 的解集为 $y < - 2$ ，求符合条件的所有整数 $a$ 的和.

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24. 已知关于x的方程 $\frac{m}{x + 3} - \frac{1}{3 - x} = \frac{m + 4}{x^{2} - 9}$ ．

(1)、若m＝﹣3，解这个分式方程；

(2)、若原分式方程无解，求m的值．

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25.

(1)、若解关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{m x}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 会产生增根，求 m的值．

(2)、若方程 $\frac{2 x + a}{x - 2} = - 1$ 的解是正数，求 a的取值范围．

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26. 维修一项工程，甲、乙两队合做，6天能完成，共付工钱102000元，甲队每天的工钱比乙队多3000元。若两队独做，乙队工期是甲队的1.5倍。

(1)、甲、乙两队独做各需多少天完成?

(2)、若两队独做，哪队工钱总额较少?

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27. 阅读理解，并解决问题.
分式方程的增根：解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现 $0 = 0$ 的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：

(1)、若解分式方程 $\frac{1 - x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ 时产生了增根，这个增根是；

(2)、小明认为解分式方程 $\frac{2 x}{x^{2} + 1} - \frac{3}{2 x^{2} + 2} = 0$ 时，不会产生增根，请你直接写出原因；

(3)、解方程 $\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$

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28. 数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式 $\frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ 表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x-1，小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题.具体过程如下：
设 $\frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ $= \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

则有 $\frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ $= \frac{A (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{B (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A + B) x + B - A}{(x + 1) (x - 1)}$

故此 ${\begin{array}{l} A + B = 3 \\ B - A = 1 \end{array}$ 解得 ${\begin{array}{l} A = 1 \\ B = 2 \end{array}$

所以 $\frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ = $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}$

问题解决：

(1)、设 $\frac{1 - x}{x (x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ ，求A、B．

(2)、直接写出方程 $\frac{1 - x}{x (x + 1)} + \frac{1 - x}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$ 的解.

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二、填空题

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