广东省湛江市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 3 < 5 - 2 x < 5}$ ， $N = {x | y = \sqrt{9 - x^{2}}}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $[- 3 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 3]$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $[- 3 ， + \infty)$

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2. 函数 $f (x) = 2^{x - 1} + x - 5$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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3. 在等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 在中线 $C D$ 上，且 $C E = 7 E D$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{8} \vec{A C} + \frac{7}{8} \vec{A B}$ B、 $\frac{1}{8} \vec{A C} - \frac{7}{8} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{8} \vec{A C} - \frac{7}{16} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{8} \vec{A C} + \frac{7}{16} \vec{A B}$

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4. 利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是菱形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（）

A、①② B、②③ C、①②③ D、②④

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{2}$ ， $A = 45 °$ ， $C = 105 °$ ，则 $b =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 若对于任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $a (4 x^{2} + 1) \geq x$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $a \sin C = c \sin B$ ，且 $\sin^{2} A (4 - \cos C) = \frac{5}{2} - \sin^{2} B$ ，则△ABC一定是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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二、多选题

9. 下列命题中为真命题的是（）

A、“ $a - b = 0$ ”的充要条件是“ $\frac{a}{b} = 1$ ” B、“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的既不充分也不必要条件 C、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2^{x} < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2^{x} \geq 0$ ” D、“ $a > 2$ ， $b > 2$ ”是“ $a b > 4$ ”的必要条件

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10. 下列命题错误的是（）

A、直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形 B、用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D、棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形

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11. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = | \cos x | + \sqrt{3} | \sin x |$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为1

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E$ ， $F$ ，且 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论中正确的有（）

A、当 $E$ 点运动时， $A_{1} C ⊥ A E$ 总成立 B、当 $E$ 向 $D_{1}$ 运动时，二面角 $A - E F - B$ 逐渐变小 C、二面角 $E - A B - C$ 的最小值为45° D、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值

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三、填空题

13. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限，且 $| z | = 5$ ，则 $z =$ .(写出满足条件的一个复数即可)

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14. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4 \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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15. 函数 $f (x) = \lg (- x^{2} + 4 x + 5)$ 的单调递增区间为.

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $676 π$ ， $P B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P B = 10$ ， $∠ B A C = 150 °$ ，则 $B C$ 的长为.

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四、解答题

17. 设复数 $z_{1} = a + b i (a ， b \in R)$ ， $z_{2} = \frac{2 + 4 i}{1 - i}$ ，且它们在复平面上对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ， $z_{1} + 3 (- 1 - i) = - 1 + 3 i$ .

(1)、求 $a ， b$ ；

(2)、求 $| Z_{1} Z_{2} |$ .

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18. 已知集合 $A = {x | (x + m) (x - 2 m + 3) < 0}$ ，其中 $m \in R$ ，集合 $B = {x | \frac{2 - x}{x + 3} > 0}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = 4 \sin (ω x + φ) + 1 (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (0) = 3$ .

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值.

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度(纵坐标不变)，得到函数 $g (x)$ 的图象，
①求函数 $g (x)$ 的单调递增区间；

②求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上的最大值.

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20. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D C // E A$ ， $A E = A B = 2 C D$ ， $F$ 为 $B E$ 的中点.

(1)、证明： $D F //$ 平面 $A B C$ .

(2)、证明： $A F ⊥$ 平面 $B D E$ .

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 R^{2} + 2 a b \cos C = a^{2} + b^{2}$ ， $R$ 为 $△ A B C$ 外接圆的半径， $c = 2 \sqrt{3}$ ， $C < \frac{π}{2}$ .

(1)、若 $a + b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $a + b$ 的最大值，并判断此时 $△ A B C$ 的形状.

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{1 + a \cdot 3^{x}}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并用定义法证明；

(2)、设 $g (x) = f (x) f (- x)$ ，若对任意 $x \in [- 1 ， 1]$ ， $g (x) \geq f (2)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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