广东省阳江市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ，集合 $B$ 为整数集，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0}$

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2. 不等式 $a x^{2} - (a + 2) x + 2 \geq 0 (a < 0)$ 的解集为（）

A、 $[\frac{2}{a} ， 1]$ B、 $[1 ， \frac{1}{a}]$ C、 $(- \infty ， \frac{2}{a}] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1] \cup [\frac{2}{a} ， + \infty)$

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3. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点(4，2)，则 $f (16) =$ （）

A、2 B、4 C、2或-2 D、4或-4

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4. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 $m_{2} - m_{1} = \frac{5}{2} lg \frac{E_{1}}{E_{2}}$ ，其中星等为m_k的星的亮度为E_k（k=1，2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A、10^10.1 B、10.1 C、lg10.1 D、 $10^{- 10.1}$

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5.
已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{b}$ |=4| $\vec{a}$ |，且 $\vec{a}$ ⊥（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ），则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 已知复数 $z = \frac{2 - i^{3}}{3 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{7}{10} - \frac{1}{10} i$ D、 $\frac{7}{10} + \frac{1}{10} i$

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7. 如图， $△ A B C$ 的斜二测直观图为等腰 $R t △ A' B' C'$ ，其中 $A' B' = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，用基底 ${\vec{a} ， \vec{b}}$ 表示 $\vec{c}$ ，则（）

A、 $\vec{c} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ B、 $\vec{c} = - 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ C、 $\vec{c} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ D、 $\vec{c} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b}$

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二、多选题

9. 在下列函数中，最小值为2的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = 2^{x} + 2^{- x}$ C、 $y = \sin x + \frac{1}{\sin x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ D、 $y = x^{2} - 2 x + 3$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，将该函数的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = \frac{1}{2}$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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11. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (k ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1 ， - 1)$ ，则下列叙述错误的是（）

A、若 $k < - 2$ 时，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为钝角 B、 $| \overset{⇀}{a} |$ 的最小值为2 C、与 $\overset{⇀}{b}$ 共线的单位向量只有一个为 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、若 $| \overset{⇀}{a} | = 2 | \overset{⇀}{b} |$ ，则 $k = 2 \sqrt{2}$ 或 $- 2 \sqrt{2}$

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12. 如图，在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $E$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $C D$ ， $S C$ 的中点，动点 $P$ 在线段 $M N$ 上运动时，下列四个结论中恒成立的为（）.

A、 $E P ⊥ A C$ B、 $E P ∥ B D$ C、 $E P ∥$ 面 $S B D$ D、 $E P ⊥$ 面 $S A C$

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三、填空题

13. 设0≤α≤π，不等式8x²﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为．

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14. 函数 $y = \log_{2} (x^{2} - 2 a x + a)$ 的值域为R，则 $a$ 的取值范围是.

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15. 在△ABC中，D是AB的中点，∠ACD与∠CBD互为余角，AD＝2，AC＝3，则sinA的值为.

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中， $\tan A = 2$ ，点D在边BC上，且 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 面积分别为2和4，过D作 $D E ⊥ A B$ 于E， $D F ⊥ A C$ 于F，则 $D E \cdot D F$ 的值是．

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四、解答题

17. 已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x²－3x＋m＝0}.

(1)、当m＝2时，求M∩N，M∪N；

(2)、当M∩N＝M时，求实数m的值.

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18. 一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.

（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；

（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？

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19. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝ $\sqrt{5}$ 百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝ $θ$ ， $θ \in$ ( $\frac{π}{2}$ ， $π$ )．

(1)、当cos $θ$ ＝ $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ 时，求小路AC的长度；

(2)、当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

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20. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别在棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1}$ ， $B F = 2 F B_{1}$ ．证明：

(1)、当 $A B = B C$ 时， $E F ⊥ A C$ ；

(2)、点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内．

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21. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $B C$ 边上的中线 $A D = m$ ，且满足 $a^{2} + 2 b c = 4 m^{2}$ .

(1)、求 $∠ B A C$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的周长的取值范围

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22. 已知函数f（x）=ax+ $\frac{1}{a}$ (1-x)(a>0)，且f（x）在[0，1]上的最小值为g（a），求g（a）的最大值．

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