高中数学人教A版（2019）选修一高二上学期期末考试

试卷更新日期：2021-08-26 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{n} = (2 ， 0 ， 1)$ 为平面 $α$ 的法向量，点 $A (- 1 ， 2 ， 1)$ 在 $α$ 内，则点 $P (1 ， 2 ， 2)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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2. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 底面ABC， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = 4$ ， $∠ P B C = 60^{\circ}$ ，则点C到平面PAB的距离是 $($ $)$

A、 $\frac{3 \sqrt{42}}{7}$ B、 $\frac{4 \sqrt{42}}{7}$ C、 $\frac{5 \sqrt{42}}{7}$ D、 $\frac{6 \sqrt{42}}{7}$

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3. 在直角坐标系中，直线 $x + \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 D、 $\frac{2}{3} π$

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4. 在圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y = 0$ 内，过点 $E (0 ， 1)$ 的最长弦和最短弦分别为 $A C$ 和 $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 C、 D、 $20 \sqrt{2}$

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5. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k x + m$ ，当 $k$ 变化时， $l$ 截得圆 $C$ 弦长的最小值为2，则 $m =$ （）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{5}$

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 $M$ ，若 $△ O M F_{1}$ 的面积等于4（ $O$ 为坐标原点），则实数 $b$ 的值等于（）

A、4 B、1 C、3 D、2

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7. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 右支上一点.若 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 6 a$ ，且 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = \sqrt{3} b^{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程是（）

A、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ C、 $\sqrt{3} x \pm 2 y = 0$ D、 $2 x \pm \sqrt{3} y = 0$

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8. 若 $a \geq \sqrt{2}$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{10}}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{\sqrt{10}}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{\sqrt{10}}{2}]$ D、 $(1 ， \frac{\sqrt{10}}{2})$

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二、多选题

9. 设动点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上，记 $\vec{D_{1} P} = λ \vec{D_{1} B}$ 当 $∠ A P C$ 为钝角时，则实数可能的取值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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10. 已知直线 $l_{1} : 2 x + 3 y - 1 = 0$ 和 $l_{2} : 4 x + 6 y - 9 = 0$ ，若直线 $l$ 到直线 $l_{1}$ 的距离与到直线 $l_{2}$ 的距离之比为 $1 : 2$ ，则直线的方程为（）

A、 $2 x + 3 y - 8 = 0$ B、 $4 x + 6 y + 5 = 0$ C、 $6 x + 9 y - 10 = 0$ D、 $12 x + 18 y - 13 = 0$

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11. 已知常数 $a > 0$ ，点 $A (- a ， 0) ， B (a ， 0)$ ，动点M(不与A，B重合)满足：直线 $A M$ 与直线 $B M$ 的斜率之积为 $m (m \neq 0)$ ，动点M的轨迹与点A，B共同构成曲线C，则关于曲线C的下列说法正确的是（）

A、当 $m < 0$ 时，曲线C表示椭圆 B、当 $m < - 1$ 时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆 C、当 $m > 0$ 时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{m} x$ D、当 $m > - 1$ 且 $m \neq 0$ 时，曲线C的离心率是 $\sqrt{1 + m}$

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12. 我们通常称离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $f (5) = 30.5$ 分别为左、右顶点， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 分别为上、下顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）

A、 $| A_{1} F_{1} | \cdot | F_{2} A_{2} | = {| F_{1} F_{2} |}^{2}$ B、 $∠ F_{1} B_{1} A_{2} = 90 °$ C、 $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $P O // A_{2} B_{1}$ D、四边形 $A B_{2} A_{2} B_{1}$ 的内切圆过焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$

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三、填空题

13. 在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC= $\frac{1}{2}$ AB=2，S为AB上一点，且AB=4AS，M，N分别为PB，BC的中点，则点C到平面MSN的距离为．

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14. 已知点 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l_{1} ： x =-1$ ，动圆 $P$ 过点 $F$ 且与直线 $l_{1}$ 相切，其圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ， $C$ 上的动点 $Q$ 到 $y$ 轴的距离为 $d_{1}$ 到直线 $l_{2} ： x - y + 2 = 0$ 的距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值为.

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15. 设直线 $l_{1} ： a x + 3 y + 12 = 0$ ，直线 $l_{2} ： x + (a - 2) y + 4 = 0$ .当 $a =$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．

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16. 已知直线l过点（1，0）且垂直于?轴，若l被抛物线 $y^{2} = 4 a x$ 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为.

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四、解答题

17.
如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $A B = 2 D E ， G ， H$ 分别为 $A C ， B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $F G H$ ；

(2)、若 $C F$ $⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C ， C F = D E ， ∠ B A C = 45^{°} ，$ 求平面 $F G H$ 与平面 $A D F E$ 所成的角（锐角）的大小.

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18. 直线1通过点P（1，3）且与两坐标轴的正半轴交于A、B两点．

(1)、直线1与两坐标轴所围成的三角形面积为6，求直线1的方程；

(2)、求OA+OB的最小值；

(3)、求PA•PB的最小值．

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是 $\sqrt{3} ， D$ 是 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B D - A$ 的大小；

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20. 已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{5} x$ 的焦点，离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过点 $C (- 1 ， 0)$ ，斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ， $F_{1}$ 为左焦点，且 $| A F_{1} | = 2$ ，又椭圆 $C$ 过点 $(0 ， 2 \sqrt{3})$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）点 $P$ 和 $Q$ 分别在椭圆 $C$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上（点 $A ， B$ 除外），设直线 $P B$ ， $Q B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $A$ ， $P$ ， $Q$ 三点共线，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左，右焦点分别是F₁ ， F₂ ，以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段PQ是椭圆C过点F₂的弦，且 $\vec{P F_{2}}$ =λ $\vec{F_{2} Q}$ ．
（i）求△PF₁Q的周长；
（ii）求△PF₁Q内切圆面积的最大值，并求取得最大值时实数λ的值．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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