高中数学人教A版（2019）选修一空间向量与立体几何

试卷更新日期：2021-08-26 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知空间向量 $\vec{m} = (3, 1, 3)$ ， $\vec{n} = (- 1, λ, - 1)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、6

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2. 设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, y, 1)$ ， $\vec{c} = (2, - 2, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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3. 已知 $A (2 ， - 5 ， 1) ， B (2 ， - 2 ， 4) ， C (1 ， - 4 ， 1)$ ，则向量 $\overset{⇀}{A B} 与 \overset{⇀}{A C}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点分别为 $E$ ， $F$ ，则直线 $E F$ 与平面 $A A_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5. 已知正四面体 $D - A B C$ 的各棱长为1，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E C} \cdot \overset{⇀}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$

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6. 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁= $\sqrt{6}$ ，则AA₁与平面AB₁C₁所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， $A B = 4 ， A A_{1} = 6$ .若 $E ， F$ 分别是棱 $B B_{1} ， C C_{1}$ 上的点，且 $B E = B_{1} E ， C_{1} F = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $A F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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8. 在直三棱柱 $A {}_{1}B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2} ， A B = A C = A A_{1} = 1$ 已知 $G$ 和 $E$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 与 $F$ 分别为线段 $A C$ 和 $A B$ 上的动点(不包括端点)，若 $G D ⊥ E F$ ，则线段 $D F$ 的长度的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， 1]$ C、 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， 1)$ D、 $[\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， 1)$

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二、多选题

9. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）．

A、直线 $D D_{1}$ 与直线 $A N$ 垂直 B、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A M N$ 平行 C、直线 $A_{1} B$ 和 $M N$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ D、点 $C$ 到平面 $A M N$ 的距离为 $\frac{2}{3}$

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10. 以下命题正确的是（）

A、若 $\vec{p}$ 是平面 $α$ 的一个法向量，直线 $b$ 上有不同的两点 $A$ ， $B$ ，则 $b // α$ 的充要条件是 $\vec{p} \cdot \vec{A B} = 0$ B、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点不共线，对于空间任意一点 $O$ ，若 $\vec{O P} = \frac{2}{5} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + \frac{2}{5} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 C、已知 $\vec{a} = (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 2 ， 3)$ ，若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则 $k = - \frac{3}{4}$ D、已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $B (4 ， 1 ， 4)$ ， $C (3 ， - 2 ， 2)$ ，则 $A C$ 边上的高 $B D$ 的长为 $\sqrt{13}$

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11. 已知ABCD﹣A₁B₁C₁D₁为正方体，下列说法中正确的是（）

A、 ${(\vec{A_{1} A} + \vec{A_{1} D_{1}} + \vec{A_{1} B_{1}})}^{2} = 3 {(\vec{A_{1} B_{1}})}^{2}$ B、 $\vec{A_{1} C} \cdot (\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{A_{1} A}) = 0$ C、向量 ${\vec{AD}}_{1}$ 与向量 $\vec{A_{1} B}$ 的夹角是60° D、正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的体积为 $| \vec{A B} \cdot \vec{A A_{1}} \cdot \vec{A D} |$

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12. 如图，以等腰直角三角形斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕，把 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（）

A、 $\vec{B D} \cdot \vec{A C} \neq 0$ ； B、 $∠ B A C = 60 °$ ； C、三棱锥 $D - A B C$ 是正三棱锥； D、平面 $A D C$ 的法向量和平面 $A B C$ 的法向量互相垂直.

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三、填空题

13. 已知向量 $a = (0, 1, 0)$ ， $b = (1, 0, 1)$ ， $| λ a + b | = \sqrt{6}$ ，且 $λ > 0$ ，则λ＝.

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14. 已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是．

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15. 已知四面体 $A B C D$ 的顶点分别为 $A (2 ， 3 ， 1)$ ， $B (1 ， 0 ， 2)$ ， $C (4 ， 3 ， - 1)$ ， $D (0 ， 3 ， - 3)$ ，则点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离.

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16. 在空间四边形 $O A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 上一点，且 $E H = \frac{1}{4} E F$ .记 $\overset{⇀}{O H} = x \overset{⇀}{O A} + y \overset{⇀}{O B} + z \overset{⇀}{O C}$ ，则 $(x ， y ， z) =$ ，若 $\overset{⇀}{O A} ⊥ \overset{⇀}{O B}$ ， $\overset{⇀}{O A} ⊥ \overset{⇀}{O C}$ ， $∠ B O C = 60 °$ ，且 $| \overset{⇀}{O A} | = | \overset{⇀}{O B} | = | \overset{⇀}{O C} | = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{O H} | =$ .

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四、解答题

17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $△ P A D$ 是正三角形，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $∠ B A D = ∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $A D = A B = 2 C D = 2$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $P M ⊥ A D$ ；

(2)、若 $P B = \sqrt{2} A B$ ，求线 $P M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $Δ A B D$ 是边长为 $2$ 的正三角形， $P C ⊥$ 底面 $A B C D ， A B ⊥ B P ， B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求证： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、若 $P C = B C$ ，求二面角 $A - B P - D$ 的正弦值.

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19. 如图所示多面体中， $A D ⊥$ 平面 $P D C$ ，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为线段 $B P$ 上一点， $∠ C D P = 120 °$ ， $A D = 3$ ， $A P = 5$ ， $C D = 2$ .

(1)、若 $F$ 为 $B P$ 的中点，证明： $E F //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、若 $B F = \frac{1}{3} B P$ ，求直线 $A F$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20. 如图，在棱长均为4的四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $E$ 为线段 $A D$ 的中点.

(1)、求平面 $B D_{1} D$ 与平面 $B D_{1} E$ 夹角的余弦值；

(2)、在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $D F //$ 平面 $B D_{1} E$ ？若存在，请确定点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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21. 如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD= ，EF=2.

(1)、求证：AE∥平面DCF；

(2)、当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为60°?

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22. 如图所示，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点.

(1)、求平面 $C_{1} E F$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 夹角的余弦值；

(2)、设 $\vec{C M} = λ \vec{C A}$ ，若平面 $C_{1} E F //$ 平面 $M B_{1} D_{1}$ ，求 $λ$ 的值.

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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