2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题二方程与不等式 2.3 一元二次方程

试卷更新日期：2021-08-26 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 把方程x²+2（x-1）=3x化成一般形式，正确的是（）

A、x²-x-2=0 B、x²+5x-2=0 C、x²-x-1=0 D、x²-2x-1=0

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2. 若a是关于x的方程3x²﹣x﹣1=0的一个根，则2021﹣6a²＋2a的值是（）

A、2023 B、2022 C、2020 D、2019

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3. 已知 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两根，则代数式 $2 a^{3} - 6 a^{2} + b^{2} + 7 b + 1$ 的值是（）

A、-25 B、-24 C、35 D、36

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4. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（）

A、 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ 化为 ${(x + 4)}^{2} = 25$ B、 $x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 化为 ${(x - 2)}^{2} = 6$ C、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 化为 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{10}{9}$ D、 $x^{2} + 2 x - 99 = 0$ 化为 ${(x + 1)}^{2} = 100$

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5. 对于实数 $a ， b$ 定义运算“☆”如下： $a ☆ b = a b^{2} - a b$ ，例如 $3 ☆ 2 = 3 \times 2^{2} - 3 \times 2 = 6$ ，则方程 $1 ☆ x = 2$ 的根的情况为（）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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6. 根据表格中的信息，估计一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 5$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的一个解 $x$ 的范围为（）

x

0

1

2

3

4

ax²+bx+c

-14.5

-11.5

-6.5

0.5

9.5

A、 $0 < x < 1$ B、 $1 < x < 2$ C、 $2 < x < 3$ D、 $3 < x < 4$

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7. 新冠肺炎传染性很强，曾有 $2$ 人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染 $x$ 人，经过两天传染后 $128$ 人患上新冠肺炎，则 $x$ 的值为（）

A、 $10$ B、 $9$ C、 $8$ D、 $7$

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8. 若直角三角形的两边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两根，则该直角三角形的面积是（）

A、6 B、12 C、12或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ D、6或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$

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9. 对于两个不相等的实数 $a ， b$ ，我们规定符号 $max {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 中较大的数，如 $\max {2 ， 4} = 4$ ，按这个规定，方程 $\max {x ， - x} = \frac{2 x + 1}{x}$ 的解为（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2} 或 1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$ 或-1

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10. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 下列说法：①当 $b = a + c$ 时，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有一根为 $x = - 1$ ；②若 $a b > 0 ， b c < 0 ，$ 则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ ；④若 $b = 2 a + 3 c$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根．其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、①②④ D、②③④

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二、填空题

11. 若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为。

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12. 对于任意实数a、b，定义一种运算： $a \otimes b = a^{2} + b^{2} - a b$ ，若 $x \otimes (x - 1) = 3$ ，则x的值为.

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13. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 2 k x + k + 3 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是．

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14. 方程kx²+1=x-x²无实根，则k.

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15. 已知实数a、b满足 $\sqrt{a - 2} + | b + 3 | = 0$ ，若关于x的一元二次方程 $x^{2} - a x + b = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ .

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16. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ （ $k \neq 0$ ）的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} = 3$ ，则 $k =$ .

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17. 已知实数 $x$ 满足 ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} - 2 x + 1) - 5 = 0$ ，那么 $x^{2} - 2 x + 1$ 的值为.

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18. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，有下列说法：①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ．其中说法正确的有（填序号）．

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三、计算题

19. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} + 3 x = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 8 x - 9 = 0$

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20. 用指定的方法解方程：

(1)、（x﹣4）²＝2（x﹣4）（因式分解法）；

(2)、2x²﹣4x﹣1＝0（公式法）.

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四、解答题

21. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程 $(a^{2} + b^{2}) x^{2} - 2 c x + 1 ＝ 0$ 有两个相等的实数根.请你判断△ABC的形状.

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22. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 2 m - 1 = 0$ 有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 两实数根.

(1)、若 $x_{1} = 1$ ，求 $x_{2}$ 及 $m$ 的值；

(2)、是否存在实数 $m$ ，满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = \frac{6}{m - 5}$ ？若存在，求出求实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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23. 阅读理解：
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法.

例如：解方程 ${(x^{2} - x)}^{2} - 8 (x^{2} - x) + 12 = 0$

解：设 $x^{2} - x = y$

原方程化为：

$y^{2} - 8 y + 12 = 0$     ∴ $(y - 2) (y - 6) = 0$

∴ $y - 2 = 0$ 或 $y - 6 = 0$     ∴ $y_{1} = 2$ ， $y_{2} = 6$

当 $y = 2$ 时，即 $x^{2} - x = 2$

$(x - 2) (x + 1) = 0$

∴ $x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$

$x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$

当 $y = 6$ 时，即 $x^{2} - x = 6$

$(x - 3) (x + 2) = 0$     ∴ $x - 3 = 0$ 或 $x + 2 = 0$

∴ $x_{3} = 3$ ， $x_{4} = - 2$

∴原方程的解是： $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$ ， $x_{3} = 3$ ， $x_{4} = - 2$

请你利用换元法解方程： ${(x^{2} - 7)}^{2} - (x^{2} - 7) - 2 = 0$

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24. 阅读并解决问题：对于二次三项式 $x^{2} + 4 x - 12$ ，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在 $x^{2} + 4 x - 12$ 中先加上一项4，使它与 $x^{2} + 4 x$ 的和成为一个完全平方式，再减去4，整个式子的值不变，于是有： $x^{2} + 4 x - 12 = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 - 12 = {(x + 2)}^{2} - 4^{2} = (x + 6) (x - 2)$ .像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.

(1)、利用“配方法”分解因式： $x^{2} - 6 x + 5$ .

(2)、同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值.因为不论x取何值， ${(x + 2)}^{2} \geq 0$ ，所以当 $x = - 2$ 时，多项式 $x^{2} + 4 x - 12$ 有最小值为-16.
试确定：多项式 $- x^{2} + 2 x + 16$ 有最值（填大或小）为.

(3)、已知x是实数，试比较 $x^{2} - 4 x + 5$ 与 $- x^{2} + 4 x - 4$ 的大小，说明理由.

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25. 如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正中央建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的 $\frac{1}{4}$ ，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 $\frac{1}{6}$ ，求道路的宽

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26. 某小家电经销商销售一种成本为每个50元的台灯.当每个台灯的售价定为80元时，每周可卖出600个，为了尽可能让利于顾客，经销商决定降价销售.经市场调查发现，这种台灯每周的销量每增加100个，该台灯的售价相应降低2元.如果该经销商每周要获得利润22000元，那么这种台灯的售价应为多少元？

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27. 运动鞋是根据人们参加运动或旅游的特点设计制造的鞋子，它的鞋底和普通的皮鞋、胶鞋不同，一般都是柔软而富有弹性的，能起一定的缓冲作用，运动时可增强弹性，防止脚踝受伤，所以在进行体育运动时，大家都喜欢穿运动鞋.某商店有 $A, B$ 两种运动鞋，A种运动鞋每双150元，B种运动鞋每双180元，4月最后一周销售 $A, B$ 两种运动鞋共50双，总销售额为8100元.

(1)、4月最后一周售出A种运动鞋多少双？

(2)、五一小长假，该商店为吸引更多顾客，对 $A, B$ 两种运动鞋进行促销.A种运动鞋的价格在4月最后一周的基础上优惠了 $\frac{1}{5} a %, B$ 种运动鞋的价格不变.小长假期间，顾客明显增多，结果5月第一周A种运动鞋售出的数量在4月最后一周的基础上增加了 $\frac{2}{5} a %, B$ 种运动鞋售出的数量在4月最后一周的基础上增加了 $\frac{3}{10} a %$ ，总销售额在4月最后一周的基础上增加了 $\frac{2}{9} a %$ ，求a的值.

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28. 阅读材料：各类方程的解法：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解．

(1)、问题：方程 $6 x^{3} + 14 x^{2} - 12 x = 0$ 的解是： $x_{1}$ =0， $x_{2}$ = ， $x_{3}$ =；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．

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x	0	1	2	3	4
ax²+bx+c	-14.5	-11.5	-6.5	0.5	9.5

2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题二 方程与不等式 2.3 一元二次方程

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二、填空题

三、计算题

四、解答题

2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题二方程与不等式 2.3 一元二次方程