高中数学人教A版（2019） 必修二 高一下学期期末考试

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

  • 1. 已知a，b为空间中两条不同的直线， α ， β 为空间中两个不同的平面，则下列条件中使 a//b 一定成立的是（ ）
    A、α//β ， a⊥α ， b⊥β B、α//β ， a⊂α ， b⊂β C、α∩β=a ， b⊂β D、α⊥β ， a⊥α ， b⊥β

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  • 2. 三棱锥 P−ABC 中，二面角 B−PA−C 大小为 120° ，且 ∠PAB=∠PAC=90° ， AB=AC=1 ， PA=2 .若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）
    A、4π B、5π C、6π D、8π

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  • 3. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 5−12 ，约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比.在几何世界中有很多黄金图形，在三角形中，如果相邻两边之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高，以短直角边的边长作为底面正方形的边心距（正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离），斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（ ）
    A、5−12 B、5+12 C、1 D、14

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  • 4. 如果从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（    ）
    A、“至少有一个黑球”与“都是红球” B、“至少有一个黑球”与“都是黑球” C、“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D、“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

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  • 5. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜 . 根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为 23 ，则本次比赛中甲获胜的概率为（    ）
    A、727 B、49 C、1627 D、2027

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  • 6. 已知样本数据为 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，该样本平均数为2021，方差为1，现加入一个数2021，得到新样本的平均数为 x¯ ，方差为 s2 ，则（    ）
    A、x¯>2021 ， s2>1 B、x¯=2021 ， s2<1 C、x¯<2021 ， s2<1 D、x¯=2021 ， s2>1

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  • 7. 某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为150的样本，已知从学生中抽取的人数为135，那么该学校的教师人数是（ ）
    A、15 B、200 C、240 D、2160

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  • 8. 如果 x1 ， x2 ， x3 ， x4 的方差是 13 ，则 3x1 ， 3x2 ， 3x3 ， 3x4 的方差为（ ）。
    A、9 B、3 C、13 D、6

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二、多选题

  • 9. 下列统计量中，能度量样本 x1,x2,⋯,xn 的离散程度的是（    ）
    A、样本 x1,x2,⋯,xn 的标准差 B、样本 x1,x2,⋯,xn 的中位数 C、样本 x1,x2,⋯,xn 的极差 D、样本 x1,x2,⋯,xn 的平均数

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  • 10. 下列说法中正确的是（   ）
    A、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B、回归直线 y^=b^x+a^ 恒过样本点的中心 (x¯ ， y¯) ，且至少过一个样本点       C、用相关指数 R2 来刻画回归效果时， R2 越接近1，说明模型的拟合效果越好   D、在 2×2 列联表中， |ad−bc| 的值越大，说明两个分类变量之间的关系越弱  

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  • 11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，则（    ）
    A、任取一个零件是第1台生产出来的次品的概率为0.01 B、任取一个零件是次品的概率为0.058 C、如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 1029 D、如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 1529

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  • 12. 在矩形 ABCD 中， AB=2 ， AD=1 ， E 为 AB 中点，沿 DE 将 △ADE 折起到 A'DE 位置（ A' 不在平面 ABCD 内）， F ， G 分别为 CA' 与 CD 的中点.在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）

    A、FG// 平面 A'DE B、DE⊥ 平面 A'AG C、存在某位置，使得 A'B⊥AG D、设直线 BF 与平面 DEBC 所成的角为 θ ，则 sinθ 的最大值是 1010

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三、填空题

  • 13. 三棱柱 ABC−A1B1C1 的侧棱垂直于底面，且 AB=BC=2 ， AC=AA1=2 ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

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  • 14. 已知一组数据1，2，2，x，5，10的平均数是4，则该组数据的方差为 ．

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  • 15. 甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为

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  • 16. 一组数据共有7个整数， m ，2，2，2，10，5，4，且 2<m<10 ，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是.

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四、解答题

  • 17. 如图所示，正方形 ABCD 所在的平面与梯形 CDEF 所在的平面垂直， EF//CD ，且 ∠CDE=∠DCF=45° ，点 P 为线段 AF 的中点．

    (1)、证明： CF// 平面 BDP ；
    (2)、若 CD=4 ， EF=2 ，求直线 AF 与平面 ABCD 所成角的正切值．

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  • 18. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面ABCD是矩形， AB=2 ， AD=2 ， E 为BC的中点， PA⊥BC ， BD⊥PE .

    (1)、证明： PA⊥ 平面ABCD；
    (2)、若PC与平面PAD所成的角为30°，求二面角 A−PE−D 的余弦值.

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  • 19. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA⊥ 平面 ABCD ， PA=AB=2 ， PD 的中点为 F .

    (1)、求证： PB// 平面 ACF .
    (2)、请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.

    ①四棱锥 P−ABCD 的体积为 433 ，② FC 与平面 ABCD 所成的角为 π6 ，

    ③ BD=23 .若  ▲   ， 求二面角 F−AC−D 的余弦值.

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  • 20. 某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从 A ， B ， C 三个行政区抽出6个社区进行调查．已知 A ， B ， C 三个行政区中分别有 18 ， 27 ， 9 个社区．
    (1)、求从 A ， B ， C 三个行政区中分别抽取的社区个数；
    (2)、若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．

    ①试列出所有可能的抽取结果；

    ②设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．

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  • 21. 为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间 [19 ， 31] 内，将其按 [19 ， 21) ， [21 ， 23) ， [23 ， 25) ， [25 ， 27) ， [27 ， 29) ， [29 ， 31] 分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm及以上的树苗为优质树苗．

    (1)、求图中a的值
    (2)、已知抽取这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：

    A试验区

    B试验区

    合计

    优质树苗

    20

    非优质树苗

    60

    合计

    将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；

    (3)、用样本估计总体， 若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为X，求X的数学期望 E(X) ．

    下面的临界值表仅供参考：

    P（K2≥k0）

    0.15

    0.10

    0.05

    0.25

    0.01

    0.005

    0.001

    k0

    2.702

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    参考公式： K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中 n=a+b+c+d ．

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  • 22. 某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以 [160 ， 180) ， [180 ， 200) ， [200 ， 220) ， [220 ， 240) ， [240 ， 260) ， [260 ， 280) ， [280 ， 300] 分组的频率分布直方图如图．

    (1)、求直方图中 x 的值；
    (2)、求理科综合分数的众数和中位数；
    (3)、在理科综合分数为 [240 ， 260) ， [280 ， 300] 的2组学生中，用分层抽样的方法抽取4名学生，从这4名学生中随机抽取2人，求这2人理科综合分数都在区间 [240 ， 260) 上的概率？

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