广东省汕尾市2020-2021学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = - 2 i^{2} - i + 1$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、-1 D、1

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2. 若集合 $M = {x | 0 < x \leq 3} ， N = {x | x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， 3]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(- 2 ， 1]$

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3. 下列函数中，定义在R上的增函数是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \log_{3} x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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4. 将某年级有300名学生分配到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，每个人只能到一个社区，经统计，将到各个社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（）

A、65 B、70 C、75 D、80

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5. 设 $α ， β$ 为两个不同的平面，直线 $l \subset α$ ，则“ $l // β$ ”是“ $α // β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知向量 $\vec{a} = (x - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (y + 1 ， - 2)$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，当 $x > 0$ ， $y > 0$ 时， $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 在三角形 $A B C$ 中，已知 $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ，点 $G$ 满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，则向量 $\vec{B G}$ 在向量 $\vec{B A}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{B A}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{B A}$ C、 $2 \vec{B A}$ D、 $3 \vec{B A}$

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8. 碳-14测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于1940年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律 $N = N_{0} e^{- λ t}$ [表示的是放射性元素在生物体中最初的含量 $N_{0}$ 与经过时间 $t$ 后的含量N之间的关系，其中 $λ = \frac{\ln 2}{T}$ （T为半衰期）].已知碳-14的半衰期为5730年， $N_{0} = 1.2 \times 10^{- 12}$ ，经测量某地出土的生物化石中碳-14含量为 $3 \times 10^{- 13}$ ，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（）

A、5730年 B、8595年 C、9082年 D、11460年

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二、多选题

9. 某市举办“口语易”英语口语竞赛，已知某选手平均得分为8.5分，12位评委对其评分具体如下（满分10分）：7.0 7.5 7.8 7.8 8.2 8.3 8.5 8.7 9.1 9.2 9.9 10则下列说法正确的是（）

A、第75百分位数为9.1 B、中位数为8.3 C、极差为3 D、去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) + m + 1$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、若函数 $f (x)$ 的最大值为6，则 $m = 3$ C、直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $g (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + m + 1$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到

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11. 下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 存在零点，则 $f (- 1) \cdot f (1) < 0$ 一定成立 B、“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 3 \neq 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} - 3 = 0$ ” C、设M为平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面内任意一点，则 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O M}$ D、若 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，O为 $△ A B C$ 所在平面一点， $S_{△ B O C}$ 和 $S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ B O C$ 和 $△ A B C$ 的面积，则 $S_{△ B O C} ： S_{△ A B C} = 1 ： 3$

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12. 如图，在所有棱长均为2的四棱锥 $P - A B C D$ 中，O为底面正方形的中心，M为侧棱PA的中点，N为侧棱PB上的动点，则下列结论正确的有（）

A、无论动点N在什么位置， $D C / /$ 平面PMN B、直线MO和直线PB所成角的大小为 $\frac{π}{4}$ C、 $∠ O N C$ 的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、二面角 $P - D C - A$ 的大小为 $\frac{π}{4}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x - 1 ， & x \geq 1 \\ 2^{- x} + 3 ， & x < 1 \end{array}$ ，则 $f (- 2) =$ .

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14. 凤山妈祖不仅是美丽汕尾的景点之一，更是渔民航海的方向标.一艘渔船向正北方向航行，在 $A$ 处看到妈祖在北偏东 $30^{\circ}$ 方向.继续航行了 $30$ 海里到达 $B$ 处，看到妈祖在北偏东 $75^{\circ}$ 方向.问B 处与妈祖的距离是海里.

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15. 已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱表面积（底面和侧面面积之和）为 $S_{1}$ ，其外接球的表面积为 $S_{2}$ ，则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

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16. 已知偶函数 $f (x)$ 是定义域为R且最小正周期为2的周期函数.当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = {(x - 3)}^{2}$ .若函数 $F (x) = \log_{a} (| x | + 1) - f (x) (a > 1)$ 在R上恰有6个零点，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 7$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的大小；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，求 $| \vec{B C} |$ .

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18. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点 $C$ 、 $D$ ，测得 $C D = 40$ 米， $∠ A D B = 135^{\circ}$ ， $∠ B D C = ∠ D C A = 15^{\circ}$ ， $∠ A C B = 120^{\circ}$ .

(1)、求 $B$ ， $D$ 两点的距离；

(2)、求 $A$ 、 $B$ 两点的距离.

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19. 为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：

组数	速度（千米/小时）	参赛人数（单位：人）
少年组	$[6 ， 8)$	300
成年组	$[8 ， 10)$	600
专业组	$[10 ， 12]$	$b$

(1)、求a ， b的值；

(2)、估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）；

(3)、通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率.

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20. 已知在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B B_{1}$ 为等边三角形， $M$ 为 $A C$ 中点， $B B_{1} = B C$ ， $A C = 4$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A_{1} C_{1} = 2$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B M C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $C_{1} - A B B_{1}$ 的体积.

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21. 从① $(a - c) (a + c) = b (a - b)$ ，② $\sqrt{3} a \cos C = c \sin A$ ，③ $\cos^{2} (\frac{π}{2} + C) + \cos C = \frac{5}{4}$ 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：
已知 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知_________.

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 2$ ，求a的取值范围.

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22. 借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为 $\frac{π}{4}$ .设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M ，作MN平行OA交OB于点N ，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ， NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足 $A O = O C$ 且 $∠ C O A = 2 ∠ A O M$ 的三角形观赏台AOC ，记 $∠ A O M = x (\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4})$ .

(1)、当 $∠ A O M = \frac{π}{6}$ 时，求矩形观赏台MNPQ的面积；

(2)、求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.

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