广东省普宁市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 如图所示，正六边形 $A B C D E F$ 中， $\vec{B A} + \vec{C D} + \vec{E F} =$ （）

A、 $\vec{A D}$ B、 $\vec{B E}$ C、 $\vec{C F}$ D、 $\vec{0}$

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3. 某校高一年级15个班参加朗讪比赛的得分如下：
91、89、90、92、94、87、96、96、91、85、89、93、88、98、93
则这组数据的60%分位数、90%分位数分别为（）

A、92、96 B、93、96 C、92.5、95 D、92.5、96

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4. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、2 D、1

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5. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，已知 ${sin}^{2} A + 2 {sin}^{2} B = {sin}^{2} C$ 则该三角形的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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7. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A、π B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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8. 在 $△ ABC$ 中，有正弦定理： $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} =$ 定值，这个定值就是 $△ ABC$ 的外接圆的直径.如图2所示， $△ DEF$ 中，已知 $DE = DF$ ，点M在直线EF上从左到右运动 $($ 点M不与E、F重合 $)$ ，对于M的每一个位置，记 $△ DEM$ 的外接圆面积与 $△ DMF$ 的外接圆面积的比值为 $λ$ ，那么 $($ 　　 $)$

A、 $λ$ 先变小再变大 B、仅当M为线段EF的中点时， $λ$ 取得最大值 C、 $λ$ 先变大再变小 D、 $λ$ 是一个定值

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二、多选题

9. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）

A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若m∥α，m∥β，则α∥β C、若m∥n，m⊥α，则n⊥α D、若m∥α，α⊥β，则m⊥β

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10. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是（）

A、“至少有一个黑球”与''都是黑球” B、至少有一个黑球''与“至少有一个红球” C、恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D、“至少有一个黑球”与“都是红球”

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11. 为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据制成统计表如下：

从表中能得到的结论有（）

A、甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温 B、甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温 C、甲地该月14时气温的标准差小于乙地该月14时气温的标准差 D、甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差

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12. 如图所示， $A B$ 是圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的一条直径，点 $C$ 在底面圆周上运动（异于 $A 、 B$ 两点），以下说法正确的是（）

A、 $∠ C S O$ 恒为定值 B、三棱锥 $S - A B C$ 的体积存在最大值 C、圆锥 $S O$ 的侧面积大于底面圆 $O$ 的面积 D、 $△ S A B$ 的面积大于 $△ S A C$ 的面积

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三、填空题

13. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．

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14. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B D} =$ ．

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15. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S₆ ， S₆= ．

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16. 已知复数 $z = \sqrt{2} \sin θ + (\cos θ - \frac{1}{2}) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $θ$ 为实数，当 $| z |$ 取得最大值时， $| z (1 + i) | =$ ．

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四、解答题

17. 复平面内有A、B、C三点，点A对应复数是3＋i，向量 $\vec{A C}$ 对应复数是－2－4i，向量 $\vec{B C}$ 表示的复数是－4－i，求B点对应复数．

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18. 有 $3$ 个相同的球，分别标有数字 $1 ， 2 ， 3$ ，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用 $(x ， y)$ 表示试验的样本点，其中 $x$ 表示第一次取出的基本结果， $y$ 表示第二次取出的基本结果．

(1)、写出这个试验的样本空间 $Ω$ ；

(2)、用 $A$ 表示事件“第一次取出的球的数字是1”；用 $B$ 表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，求证： $P (A B) = P (A) P (B)$ ．

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19. $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2 ， A C = 5$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $M 、 N$ 分别是 $B C 、 A C$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，

(1)、分别用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{A M}$ 和 $\vec{B N}$ ；

(2)、设 $A M$ 与 $B N$ 交于点 $P$ ，求 $∠ M P N$ 的余弦值．

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20. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $P D C$ ， $A D // B C ，$ $P D ⊥ P B ，$ $A D = 1 ，$ $B C = 2 ，$ $C D = 4 ，$ $P D = 2$ ， $E$ 为 $P B$ 中点．

(1)、求证： $A E //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求证： $P D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(3)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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21. 为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A，1.5小时以上，B，1-1.5小时，C，0.5-1小时，D，0.5小时以下．图（1），（2）是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：

(1)、本次一共调查了多少名学生．

(2)、在图（1）中将 $B$ 对应的部分补充完整．

(3)、若该校有3000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？

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22. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， x) ， \vec{b} = (| x^{2} - 1 | ， x + k)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} ， x \in R$

(1)、讨论 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 上有两个零点 $x_{1} 、 x_{2}$ ，求实数 $k$ 的取值范围，并证明： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} < 4$

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