广东省梅州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $z = (2 + i) (1 - 2 i)$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 + 4 i$ B、 $3 - 4 i$ C、 $4 + 3 i$ D、 $4 - 3 i$

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2. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 设 $A$ 、 $B$ 为两个互斥事件，且 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则下列各式错误的是（）

A、 $P (A B) = 0$ B、 $P (A B) = P (A) P (B)$ C、 $P (\bar{A} \cup \bar{B}) = 1$ D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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4. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，则下列正确的结论是（）

A、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n / / α$ D、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (4 ， - 2)$ ， $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $λ$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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6. 已知一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，…， $x_{10}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + \dots + x_{10}^{2} = 185$ ，平均数 $\bar{x} = 4$ ，则该组数据的方差 $s^{2} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为 $2 b$ ，高皆为 $a$ 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 $β$ 上，以平行于平面 $β$ 的平面于距平面 $β$ 任意高 $d$ 处可横截得到 $S_{圆}$ 及 $S_{环}$ 两截面，可以证明 $S_{圆} = S_{环}$ 总成立.据此，短轴 $A B$ 长为 $6 cm$ ，长半轴 $C D$ 为 $4 cm$ 的椭半球体的体积是（）

A、 $24 π {cm}^{3}$ B、 $48 π {cm}^{3}$ C、 $192 π {cm}^{3}$ D、 $384 π {cm}^{3}$

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8. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高 $A A_{1} = 2 ， A C = 2 \sqrt{6} ，$ $A B_{1} = x ， A D_{1} = y$ ，则当 $x + y$ 最大时，二面角 $A - B_{1} D_{1} - C_{1}$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则下列关于复数 $z$ 的结论正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z} = - 1 - i$ C、复平面内表示复数 $z$ 的点位于第三象限 D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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10. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对边的长分别为 $a ， b ， c$ ， $A = \frac{π}{4}$ ， $a = m$ ， $b = 4$ ，若满足条件的 $△ A B C$ 有两个，则 $m$ 的值可以是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、4

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11. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的 $2000$ 名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ， $60$ 分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）

A、成绩在 $[70 ， 80)$ 的考生人数最多 B、不及格的考生人数为500 C、考生竞赛成绩的众数为75分 D、考生竞赛成绩的中位数约为75分

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是棱 $D D_{1}$ 的中点，F在侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上运动，且满足 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} B E$ .以下命题正确的有（）

A、侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上存在点F ，使得 $B_{1} F ⊥ C D_{1}$ B、直线 $B_{1} F$ 与直线 $B C$ 所成角可能为 $30^{°}$ C、平面 $A_{1} B E$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成锐二面角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ D、设正方体棱长为1，则过点E ， F ， A的平面截正方体所得的截面面积最大为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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三、填空题

13. 向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为.

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15. 在边长为 $3$ 的菱形 $A B C D$ 中， $B D = 3 \sqrt{3}$ ，将菱形 $A B C D$ 沿其对角线 $A C$ 折成直二面角 $B - A C - D$ ，若 $A ， B ， C ， D$ 四点均在某球面上，则该球的表面积为.

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16. 某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为， 80%分位数是.

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四、解答题

17. 在三角形 $A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 1 ， ∠ A C D = \frac{π}{2}$ ，D是线段 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，F为线段 $A B$ 上一点．

(1)、若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求 $x - y$ 的值；

(2)、求 $\vec{C F} \cdot \vec{F A}$ 的取值范围；

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为1， $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点， $A C \cap B D = O$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B_{1} B D D_{1}$ ；

(2)、求证： $D E / /$ 平面 $A C B_{1}$ ；

(3)、求三棱锥 $E - A C B_{1}$ 的体积.

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19. 在① $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos C$ ；② $c \sin B - \sqrt{3} b \cos C = 0$ ；③ $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，且_______．

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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20. 我市某校为了解高一新生对文理科的选择，对1000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科.分别从选择理科和文科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：

分数段	理科人数	文科人数
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100)$

(1)、利用统计表数据分析：选择文理科学生的数学平均分及数学成绩对学生选择文理科的影响；并绘制选择理科的学生的数学成绩的频率分布直方图；

(2)、从数学成绩不低于70分的选择理科和文科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取理科学生的数学成绩至少高于选取文科学生的数学成绩一个分数段的概率.

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $∠ A C B = 30^{°}$ ， $∠ C_{1} C B = 60^{\circ}$ ， $B C_{1} ⊥ A_{1} C$ ， $E$ 为 $A C$ 的中点，侧棱 $C C_{1} = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} E B$ ；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值．

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22. 芹洋湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园.欲在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形 $A B C D$ 的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中 $D C = 4$ （单位：百米）， $D A = 2$ （单位：百米）， $△ A B C$ 为正三角形.建成后 $△ B C D$ 将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域， $△ A B D$ 将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域.

(1)、当 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ 时，求旅游观光、休闲娱乐的区域 $△ B C D$ 的面积；

(2)、求旅游观光、休闲娱乐的区域 $△ B C D$ 面积的最大值.

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