广东省茂名市五校联盟2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 4 \leq 0} ， B = {x | x \leq 2 ， x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[1 ， 4]$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 4}$

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2. 已知复数 $z = \frac{x + i}{2 - i}$ 为纯虚数，其中 $i$ 为虚数单位，则实数x的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-3 D、 $\frac{1}{3}$

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3. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 设 $α ， β$ 是两平面， $a ， b$ 是两直线．下列说法正确的个数是（    ）
①若 $a / / b ， a / / c$ ，则 $b / / c$         ②若 $a ⊥ α ， b ⊥ α$ ，则 $a / / b$

③若 $a ⊥ α ， a ⊥ β$ ，则 $α / / β$     ④若 $α ⊥ β ， α \cap β = b ， a \subset α ， a ⊥ b$ ，则 $a ⊥ β$

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 若 $4 \sin α - 3 \cos α = 0$ ，则 $\sin 2 α + 2 \cos^{2} α =$ （）

A、 $\frac{48}{25}$ B、 $\frac{56}{25}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$

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7. 函数 $f (x) = sin x \cdot ln \frac{x - 1}{x + 1}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C ， S A = 4 ， B C = 2 \sqrt{3} ， ∠ B A C = 60 °$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $32 π$ B、 $64 π$ C、 $80 π$ D、 $128 π$

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二、多选题

9. 某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优，据当地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图，现给出如下信息，其中正确的信息为（）

A、10月份人均月收入增长率为2% B、11月份人均月收入约为1570元 C、12月份人均月收入有所下降 D、从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高

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10. 设正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq 9$ B、 $2^{a} + 2^{b} > 3$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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11. 关于函数 $f (x) = 4 \sin (π x - \frac{π}{6})$ 有如下四个命题中真命题的序号是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为2； B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2}{3} ， 0)$ 对称； C、若 $f (a - x) = f (a + x)$ ，则 $| a |$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ ； D、 $f (x)$ 的图象与曲线 $y = \frac{1}{x} (0 < x < \frac{25}{6})$ 共有4个交点．

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12. 如图，在棱长为 $6$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 上一点，且 $D E = 2$ ， $F$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，点 $G$ 是线段 $B C_{1}$ 上的动点，则（）

A、无论点 $G$ 在线段 $B C_{1}$ 上如何移动，都有异面直线 $A_{1} G$ 、 $B_{1} D$ 的夹角为 $\frac{π}{2}$ B、三棱锥 $A_{1} - G A E$ 的体积为 $108$ C、直线 $A E$ 与 $B F$ 所成角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{10}}{15}$ D、直线 $A_{1} G$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成最大角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 甲射击命中目标的概率是 $\frac{1}{2}$ ，乙射击命中目标的概率是 $\frac{1}{3}$ ，甲与乙射击相互独立，则甲乙两人中恰有一人命中目标的概率是

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14. 在 $△ A B C$ 中，点D在边 $A B$ 上， $C D ⊥ B C ， A C = 5 \sqrt{3} ， C D = 5 ， B D = 2 A D$ ，则 $A D$ 的长为．

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15. 定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = g (x) - g (- x) + 1$ ，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (- 1 ， 1) ， x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 0$ ，则关于x的不等式 $f (2 x + 1) + f (x) > 2$ 的解集为

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16. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 2 x + 3)$ 的单调递增区间是，值域是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的周期和单调区间；

(2)、若 $f (α) = \frac{8}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，求 $\cos 2 α$ 的值.

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18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在 $[100 ， 150) ， [150 ， 200) ， [200 ， 250) ， [250 ， 300) ， [300 ， 350) ， [350 ， 400]$ （单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．

(1)、估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；

(2)、现按分层抽样从质量为 $[200 ， 250) ， [250 ， 300)$ 的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；

(3)、某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；

方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．

请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

参考数据： $5 \times 125 + 17 \times 175 + 20 \times 225 + 30 \times 275 + 25 \times 325 + 3 \times 375 = 25600$ ．

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为梯形， $A B / / C D ， P A = P D = \sqrt{2}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， C D ⊥ A D ， A B = A D = 2 D C = 2$ ，

(1)、E为 $P D$ 的中点，F在 $A B$ 上， $A F = 3 F B$ ，求证： $E F / /$ 平面 $P B C$

(2)、求 $A C$ 与平面 $P D C$ 所成角的余弦值．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $a 、 b 、 c$ 分别是角 $A 、 B 、 C$ 的对边，向量 $\vec{m} = (2 a + c ， b)$ ，向量 $\vec{n} = (\cos B ， \cos C)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求B的大小；

(2)、设点D在边 $A C$ 上，且 $B D = 2 ， B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，求 $a + c$ 的最小值．

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21. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 2 A B = 2 A A_{1} = 2 ， P$ 为棱 $A_{1} D_{1}$ 中点，E为棱 $B C$ 中点，

(1)、求二面角 $P - B E - D$ 平面角的大小；

(2)、线段 $A D$ 上是否存在点Q，使得Q到平面 $P E D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ？若存在，求出 $\frac{A Q}{Q D}$ 值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知二次函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = - 6$ 只有一个交点，满足 $f (0) = - 2$ 且函数 $f (x - 2)$ 是偶函数． $g (x) = \frac{f (x)}{x}$

(1)、求二次函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x \in [1 ， 2] ， t \in [- 4 ， 4] ， g (x) \geq - m^{2} + t m$ 恒成立，求实数m的范围；

(3)、若函数 $y = g (| x | + 3) + k \cdot \frac{2}{| x | + 3} - 11$ 恰好三个零点，求k的值及该函数的零点．

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