广东省揭阳市揭西县2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \frac{1}{x^{2} - 4}}$ ， $B = {x | - 2 \leq x < 3 ， x \in Z}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 在△ABC中，“ $\sin A > \sin B$ ”是“ $A > B$ ”的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）

A、 $6 .25 %$ B、 $7.5 %$ C、 $10.25 %$ D、 $31.25 %$

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4. 已知 $f (x) = - 2 x^{2} + b x + c$ ，不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1 ， 3)$ .若对任意的 $x \in [- 1 ， 0]$ ， $f (x) + m \geq 4$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 4]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[4 ， + \infty)$

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5. 若圆锥轴截面面积为 $2 \sqrt{3}$ ，母线与底面所成角为60°，则体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + x^{2}} - 1$ 在区间 $[- 4 ， 4]$ 附近的图象大致形状是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、8π B、12π C、20π D、24π

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8. 已知向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为120°，且| $\vec{A B}$ |=2，| $\vec{A C}$ |=3，若 $\vec{A P}$ =λ $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ ，且 $\vec{A P}$ ⊥ $\vec{B C}$ ，则实数λ的值为（　　）

A、 $\frac{3}{7}$ B、13 C、6 D、 $\frac{12}{7}$

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二、多选题

9. 设 $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则以下结论正确的是（）

A、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，则 $m / / β$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m / / n$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 已知复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $z$ 在复平面对应的点位于第二象限 B、 $z$ 的虚部是 $i$ C、 $| z | = \sqrt{2}$ D、 $\bar{z} = 1 + i$

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11. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B B_{1}$ ， $C D$ 的中点，则（）

A、直线 $A D_{1}$ 与 $B D$ 的夹角为 $60 °$ B、二面角 $E - A D - B$ 的正切值是 $\frac{1}{2}$ C、经过三点 $A ， E ， F$ 截正方体的截面是等腰梯形 D、点 $C_{1}$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 已知集合 $M = {(x ， y) ∣ y = f (x)}$ ，若对于 $\forall (x_{1} ， y_{1}) \in M ， \exists (x_{2} ， y_{2}) \in M$ ，使得 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ 成立则称集合 $M$ 是“互垂点集”．给出下列四个集合 $M_{1} = {(x ， y) ∣ y = x^{2} + 1} ； M_{2} = {(x ， y) ∣ y = \sqrt{x + 1}} ； M_{3} = {(x ， y) ∣ y = e^{x}} ； M_{4} = {(x ， y) ∣ y = \sin x + 1}$ ．其中是“互垂点集”集合的为（）

A、 $M_{1}$ B、 $M_{2}$ C、 $M_{3}$ D、 $M_{4}$

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三、填空题

13. 已知 $\cos (\frac{π}{2} - α) = 2 \cos (π + α)$ ，则 $\tan α$ 的值为．

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14. 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔 $P$ 的南偏西 $60 °$ 、距塔 $20$ 海里的 $M$ 处，上午11时到达这座灯塔的东偏南 $30 °$ 方向的 $N$ 处，则该船航行的速度为海里/小时．

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15. 城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ 则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |}$ ，则不等式 $f (| x - 1 |) + f (x - 2) \geq 0$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1 ， - 1)$
（Ⅰ）若 $| \vec{c} | = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

（Ⅱ）若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， m]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，求 $m$ 的最小值.

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19. 在条件①： $c = 7$ ， $\cos A = - \frac{1}{7}$ ：条件②： $\cos A = \frac{1}{8}$ ， $\cos B = \frac{9}{16}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a + b = 11$ ，若________．

(1)、 $a$ 的值；

(2)、 $\sin C$ 和 $△ A B C$ 的面积．

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20. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下 $100$ 个芒果，其质量（单位： $g$ ）分别在 $[100 ， 150)$ ， $[150 ， 200)$ ， $[200 ， 250)$ ， $[250 ， 300)$ ， $[300 ， 350)$ ， $[350 ， 400]$ 中，经统计得频率分布直方图如图所示．

(1)、求该组数据的众数、中位数，并估计这组数据的平均数（精确到整数位）；

(2)、现按分层随机抽样从质量在 $[200 ， 250)$ ， $[250 ， 300)$ 中的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $P B$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求证： $E F //$ 平面 $P C D$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (\frac{a x}{x + 1} - b)$ （其中 $a ， b \in R$ 且 $a \neq 0$ ）的图象关于原点对称．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值

(2)、当 $a > 0$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (e^{x}) - x + \ln k = 0$ 在区间 $(0 ， \ln 4]$ 上有两个不同的解，求实数 $k$ 的取值范围．

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