广东省惠州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， t)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、-1 B、2 C、4 D、-4

查看试题解析
3. 已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $\frac{2}{3} π$ D、 $2π$

查看试题解析
4. 已知有样本数据2、4、5、6、8，则该样本的方差为（）

A、5 B、4 C、2 D、0

查看试题解析
5. 空间中， $m$ ， $n$ 是两条不同直线， $α$ 是平面，有下列四个命题：
①若 $n // α$ ， $m // α$ ，则 $n // m$ ；②若 $n // α$ ， $m \subset α$ ，则 $n // m$ ；

③若 $n ⊥ α$ ， $m \subset α$ ，则 $n ⊥ m$ ；④若 $n ⊥ α$ ， $m // n$ ，则 $m ⊥ α$ ．

则正确的命题个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

查看试题解析
6. 如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第50百分位数是（）

A、2℃ B、1℃ C、0℃ D、-2℃

查看试题解析
7. 棣莫弗公式 ${(\cos x + i \cdot \sin x)}^{n} = \cos (n x) + i \cdot \sin (n x)$ （其中 $i$ 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 ${(\cos \frac{π}{3} + i \cdot \sin \frac{π}{3})}^{4}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
8. 已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O ，且 $2 \overset{⇀}{A O} = \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} ， | \overset{⇀}{O A} | = | \overset{⇀}{A B} |$ ，则向量 $\overset{⇀}{B A}$ 在向量 $\overset{⇀}{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \overset{⇀}{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \overset{⇀}{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \overset{⇀}{B C}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ， $B C = 7$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $△ A B C$ 为钝角三角形 B、 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、 $△ A B C$ 面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{15}{2}$

查看试题解析
10. 下列命题错误的有（）

A、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，且 $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ C、若非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 是共线向量，则A，B，C，D四点共线 D、向量 $\vec{A B}$ 的模与向量 $\vec{B A}$ 的模相等

查看试题解析
11. 如图是一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件 $A$ 和 $B$ ，其中 $n (Ω) = 24$ ， $n (A) = 12$ ， $n (B) = 8$ ， $n (A \cup B) = 16$ ，下列运算结果，正确的有（）

A、 $n (A B) = 4$ B、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ C、 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ D、 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{1}{2}$

查看试题解析
12. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为2，侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ ， $E$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则正确的结论有（）

A、 $A C_{1} //$ 平面 $A_{1} B E$ B、 $A C_{1}$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ C、三棱锥 $A_{1} - B_{1} E B$ 的体积为 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ D、 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} E B$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{39}}{13}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ， $θ$ 为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $\cos θ =$ ．

查看试题解析
14. 在复数范围内，方程 $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ 的解集为．

查看试题解析
15. 一个公司共有 $N$ 名员工，下设一些部门，要采用等比例分层随机抽样的方式从全体员工中抽取样本容量为 $n$ 的样本，如果某部门有 $m$ 名员工，则从该部门抽取的员工人数为．

查看试题解析
16. 某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个．得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是 $C D$ ，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是．

查看试题解析

四、解答题

17. 如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 135 °$ ， $C D = 50$ 米，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为45°，求塔高 $A B$ ．

查看试题解析
18. 如图，一块边长为 $100 cm$ 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．

(1)、请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；
（不需要写步骤及作图过程）

(2)、求该正四棱锥形容器的体积．

查看试题解析

19. 某科研课题组通过一款手机

A P P

软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表及直方图：

周跑量（ $km/$ 周）	人数	周跑量（ $km/$ 周）	人数
$[10 ， 15)$	$100$	$[35 ， 40)$	$150$
$[15 ， 20)$	$120$	$[40 ， 45)$	$60$
$[20 ， 25)$	$130$	$[45 ， 50)$	$30$
$[25 ， 30)$	$180$	$[50 ， 55)$	$10$
$[30 ， 35)$	$220$

(1)、请补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；

(2)、根据以上图表数据，估计样本的下四分位数、众数及平均数（结果保留一位小数）．

查看试题解析

20. 在① $a \cos B - \frac{1}{2} b = c$ ；② $a^{2} - b^{2} = c (b + c)$ 这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知______．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

查看试题解析
21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正形， $P D = A B$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面 $P C B$ ；

(2)、求二面角 $E - B D - P$ 的余弦值．

查看试题解析
22. 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 $p$ ，乙同学答对每题的概率都为 $q (p > q)$ ，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，恰有一人答对的概率为 $\frac{5}{12}$ .

(1)、求 $p$ 和 $q$ 的值；

(2)、试求两人共答对3道题的概率.

查看试题解析