广东省广州市越秀区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 现有以下两项调查：①从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；②某社区有600户家庭，其中高收入家庭180户，中等收入家庭360户，低收入家庭60户，为了调查家庭购买力的某项指标，拟抽取一个容量为30的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（）

A、①②都采用简单随机抽样 B、①②都采用分层随机抽样 C、①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D、①采用分层随机抽样，②采，简单随机抽样

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2. 复数 $z = \frac{10}{3 + i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2，不用现金支付的概率为0.45，则既用现金支付也用非现金支付的概率为（）

A、0.35 B、0.65 C、0.25 D、0

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4. 下列命题中正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C、圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面 D、四边形可确定一个平面

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5. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $a$ ， $b$ 是两条不同的直线，则 $a / / b$ 的一个充分条件是（）

A、 $a // α$ ， $b \subset α$ B、 $α // β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ C、 $a // α$ ， $b // α$ D、 $α // β$ ， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$

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6. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，若向量 $\vec{c} = 2 \vec{a} + \sqrt{5} \vec{b}$ ，向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\sin θ =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

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7. 如图，在正四面体 $A B C D$ 中， $P$ 是底面 $A B C$ 内一点，则在平面 $A B C$ 内过点 $P$ 且与直线 $A D$ 所成角为 $60 °$ 的直线共有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、无数条

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8. 《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A A_{1}$ =3，当阳马 $C - A B B_{1} A_{1}$ 的体积为8时，堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球表面积的最小值是（）

A、 $8 π$ B、 $25 π$ C、 $\frac{8 π}{3}$ D、 $\frac{25 π}{3}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = (m^{2} - 2 m) + (m^{2} - 4) i (m \in R)$ ，则（）

A、当 $m = 2$ 时， $z$ 是实数 B、当m=0时，z是纯虚数 C、当 $m = - 2$ 时， $z + \bar{z} = 0$ D、当 $m = 1$ 时， $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 10 = 0$ 的一个根

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10. 为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）

A、频率分布直方图中 $a$ 的值为0.04 B、这100名学生中体重不低于60千克的人数为20 C、这100名学生体重的众数约为52.5 D、据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

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11. 用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（）

A、直角三角形 B、等腰梯形 C、正五边形 D、正六边形

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12. 已知点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在平面内，则（）

A、满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 时， $P$ 是 $△ A B C$ 的外心 B、满足 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ 时， $P$ 是 $△ A B C$ 的重心 C、满足 $\sin A \cdot \overset{⇀}{P A} + \sin B \cdot \overset{⇀}{P B} + \sin C \cdot \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ 时， $P$ 是 $△ A B C$ 的内心 D、满足 $\sin 2 A \cdot \overset{⇀}{P A} + \sin 2 B \cdot \overset{⇀}{P B} + \sin 2 C \cdot \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ 时， $P$ 是 $△ A B C$ 的垂心

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三、填空题

13. 写出一个模为 $\sqrt{5}$ 的虚数 $z =$ .

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14. 卢浮宫玻璃金字塔是著名美籍华裔建筑设计师贝聿铭的重要作品之一，主玻璃金字塔是一个底边长为35m，高为21m的正四棱锥，则该主玻璃金字塔所占空间的大小是m³.

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15. 一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有3个红球， $n$ 个黄球，从袋中不放回地依次随机取出2个球，已知取出的2个球都是红球的概率是 $\frac{1}{15}$ ，则 $n =$ .

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16. 为了解学生的课外阅读情况，某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，所得样本数据如下：

年级	抽样人数	样本平均数	样本方差
高一	40	5	3.5
高二	30	${\bar{x}}_{2}$	2
高三	30	3	$S_{3}^{2}$

已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数 ${\bar{x}}_{2} =$ ，高三年级学生的样本方差 $S_{3}^{2} =$ .

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四、解答题

17. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg）结果如下：
83，96，75，91，70，107，100，80，97，94，

76，89，117，98，74，95，84，85，87，102

(1)、计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数、平均数和极差；

(2)、一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），试问每天应进多少千克苹果？

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a + b = 12$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
条件①： $c = 4$ ， $\cos A = - \frac{1}{5}$ ；条件②： $\cos A = - \frac{1}{4}$ ， $\cos B = \frac{7}{8}$ .

(1)、 $a$ 的值；

(2)、 $\sin C$ 和 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在三 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ .

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A = A C = 2 A B$ ， $D$ 是 $P C$ 的中点，求直线 $A D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20. 如图， $A$ 、 $B$ 是某海域位于南北方向相距 $15 (1 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于 $A$ 点北偏东 $45 °$ 、 $B$ 点南偏东 $30 °$ 的 $C$ 处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于 $B$ 点正西方向且与 $B$ 点相距50海里的 $D$ 处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时.

(1)、求 $B$ 、 $C$ 两点间的距离；

(2)、该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到 $0.01 °$ ）？救船到达 $C$ 处需要乡长时间？
（参考数据： $\sin 21.79 ° \approx 0.37$ ， $\cos 21.79 ° \approx 0.93$ ）

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21. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{8}$ ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)、从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少取到两个一等品的概率.

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22. 在如图所示的圆台中， $A B C D$ 是圆台的轴截面， $O_{1}$ ， $O$ 分别是上、下底面圆的圆心， $E$ 是下底面圆周上异于 $A$ ， $B$ 的一点，设圆台的上、下底而圆的半径分别为 $r$ 与 $R (R > r)$ ，高为 $h$ ，体积为 $V$ .

(1)、若 $M$ ， $N$ 外别是 $A D$ 与 $C E$ 的中点，试判断直线 $M N$ 与平面 $A B E$ 的位置关系，并加以证明；

(2)、若 $∠ A B E = ∠ B A C = 30 °$ ，求二面角 $E - A C - B$ 的正切值；

(3)、在估测圆台的体积时，常用近似公式 $V_{估} = S_{中截面} \cdot h$ 来计算，其中圆台的中截面是指与上、下两个底而平行，且到两个底面距离相等的截而，试判断与 $V_{估}$ 与 $V$ 的大小关系，并说明理由.

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