广东省佛山市顺德区2020-2021学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数 $(i - 1) z = i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 已知向量 $\vec{a} = (k ， 1) ， \vec{b} = (4 ， k) ， \vec{c} = (k + 1 ， - 2)$ ，其中 $\vec{a} // \vec{b}$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $k$ ＝（）

A、0 B、-2 C、2 D、 $\pm 2$

查看试题解析
3. 已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B ⊥ A C$ ，其面积为1．以 $A B$ 为轴，则将 $△ A B C$ 旋转一周形成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

查看试题解析
4. 某工厂有 $A ， B ， C ， D$ 四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．工厂为了调查产品的销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在C地区有15个大型销售点，要从中抽取7个调查其收入及售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）

A、分层抽样，系统抽样 B、分层抽样，简单随机抽样 C、系统抽样，分层抽样 D、简单随机抽样，分层抽样

查看试题解析
5. 已知 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\sin θ - \cos θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan 2 θ$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\pm \frac{4}{3}$

查看试题解析
6. 一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间的关系如图所示．该表达式可由 $U = 311 \sin (π t + 1)$ 通过下列哪种变化得到（）

A、先向左平移1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{100}$ 倍； B、先向右平移1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的100倍； C、保持纵坐标不变，横坐标变为原来的100倍，再向左平移 $\frac{1}{100 π}$ 个单位； D、保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{100}$ 倍，再向右平移 $\frac{1}{100 π}$ 个单位．

查看试题解析
7. 点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在平面内一点，当 $P A + P B + P C$ 取到最小值时，则称该点为 $△ A B C$ 的“费马点”.当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{o}$ 时，费马点满足如下特征： $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120^{o}$ .如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{7}$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，则其费马点到 $A ， B ， C$ 三点的距离之和为（）

A、4 B、2 C、 $2 - 2 \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

查看试题解析
8. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的底面是正三角形， $A B = \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ ， $P A ⊥ B C$ ， $P B ⊥ A C$ ， $P C ⊥ A B$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{32 \sqrt{3}}{27} π$ C、 $4 π$ D、 $\frac{16}{3} π$

查看试题解析

二、多选题

9. 甲乙两支足球队在上一赛季中分别参加了10场比赛，在这10场比赛中两队的进球数如下表，设两支足球队在10场比赛中进球数的平均数为

\bar{x_{1}} ， \bar{x_{2}}

，标准差为

s_{1} ，

s_{2}

，则下列说法正确的是（）

场次

球队

甲

乙

A、

\bar{x_{1}} \neq \bar{x_{2}}

B、

\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}

C、

s_{1} > s_{2}

D、

s_{1} < s_{2}

查看试题解析

10. 已知函数 $f (x) = a + \cos x$ ，则下列说法正确的是（）

A、该函数的最大值与最小值的差为2； B、 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 是该函数的一个对称中心； C、若 $a = 0$ ，则存在 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，使得 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - 1$ ； D、无论 $a$ 取何值，对任意 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ， $f (x_{1}) \cdot f (x_{2})$ 的最大值为1．

查看试题解析
11. 对于三角形而言，有不同的分类方法，可以按边分类，也可以按角分类．已知 $△ A B C$ 的三条边分别为：3，4，5，易验证该三角形为非等腰的直角三角形，且该三角形的三边长都是整数．现将三边长都是整数的三角形，称为整边三角形．整边三角形有很多有趣的性质，比如：根据余弦定理可知，整边三角形的三个内角的佘弦值均为有理数．在整边三角形中，若其面积也为整数，则称该三角形为海伦三角形．则下列说法正确的是（）

A、整边三角形三个内角的正弦值均为有理数； B、三边长分别为13，14，15的三角形是海伦三角形； C、若整边三角形为直角三角形，则该三角形为海伦三角形； D、不存在等腰的海伦三角形

查看试题解析
12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，设点 $P ， Q$ 分别为 $A_{1} B_{1} ， D D_{1}$ 的中点，则过点 $P ， Q$ 的平面 $α$ 与正方体的截面形状可能为（）

A、三角形 B、矩形 C、五边形 D、六边形

查看试题解析

三、填空题

13. 如果复数 $z$ 满足 $z^{2} - 2 z + 2 = 0 ，$ 那么 $| z | =$ .

查看试题解析
14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，其边长为 $\sqrt{5}$ ，点 $P$ 为线段 $B C$ 上的动点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ ＝．

查看试题解析
15. 经问卷调查，某班学生对“羽毛球”运动分别执“爱好”、“不爱好”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不爱好”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生对班级是否购置羽毛球拍进行表决，如果选出5位“爱好”羽毛球的同学，1位“不爱好”羽毛球的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“爱好”羽毛球的比全班人数的一半还多人．

查看试题解析
16. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $B C$ 上一点（不是端点）， $A D ⊥ B C$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 {\vec{A B}}^{2} - {\vec{A C}}^{2}$ ．则 $| \vec{B D} | ： | \vec{D C} |$ 的值为；若 $2 | \vec{A B} |^{2} + | \vec{A C} |^{2} = 3 | \vec{A D} |^{2} + 6$ ，则有 $| B C |$ ＝．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ)$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ．
从下面的两个条件中任选其中一个：① $f (x) = 3 \cos^{2} x + 3 \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{3}{2}$ ；②若 $f (x_{1}) = 3$ ， $f (x_{2}) = 0$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ ， $f (0) = \frac{3}{2}$ ；求解下列问题：

（Ⅰ）化简 $f (x)$ 的表达式并求 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）请填写表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象．

（注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分）

$X = 2 x + \frac{π}{6}$

$x$

$y$

查看试题解析
18. 随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行起来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供一定的帮助某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步），按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．

(1)、求 $a$ 的值，并求出这300名员工日行步数 $x$ （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）；

(2)、该企业为了鼓励员工每日进行健步走，决定对步数多的员工进行奖励，为了鼓励员工，企业准备对步数大于或等于第60百分位数的员工进行奖励，请根据直方图设定好奖励的标准（即步数达到多少者可以获得奖励，结果保留整数）．

(3)、该企业的某部门共有5名成员在300名样本中，且这5名成员的步数均属于前40%，能否说明该部门的所有员工都属于前40%．

查看试题解析
19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $△ P A D$ 为等边三角形.设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，设 $A D$ ， $B C$ 的中点分别为 $E$ ， $F$ ．

(1)、若 $A D = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{2}$ ，证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、证明： $l ⊥$ 平面 $P E F$ ．

查看试题解析
20. 如图，某公园内有一个很大的湖，湖岸边（可视湖岸为直线）点 $A$ 处停放着一只景区观光船，由于缆绳突然断开，观光船受风力的影响，以与湖岸成 $30^{o}$ 角的方向（假设方向一直不变），大小为 $| \vec{ν} | = 2 \sqrt{3}$ km/h的速度向湖中心飘走．半小时后，公园管理员才发现，此时观光船已经运动到点 $C$ 的位置．假设沿湖岸从左向右的单位向量为 $\vec{e}$ ．

(1)、求小船运动的位移向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{e}$ 上的投影向量 $\vec{A B}$ （用已知向量表示）及其模长；

(2)、公园管理员此时正在投影向量的终点 $B$ 处，他立即开电动皮划艇前去追赶，假设电动皮划艇的速度大小为 $| \vec{v_{1}} | = 6$ km/h，且不受风力影响，请你帮他算一算，他应该按怎样的方向去追才能最快追上观光船？最少用时多少？

查看试题解析
21. 如图，在圆锥 $O P$ 中，底面 $⊙ O$ 的半径为2， $△ A B C$ 是底面 $⊙ O$ 的内接等边三角形，且 $O P = 2$ ．

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 的表面积与体积；

(2)、求二面角 $B - P A - C$ 的余弦值．

查看试题解析
22. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $B D ⊥ B C$ ， $B C = \sqrt{3} B D$ ．

(1)、若角 $∠ A = \frac{5}{6} π$ 时，求四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求 $A C$ 的最大值．

查看试题解析

$X = 2 x + \frac{π}{6}$
$x$
$y$