广东省佛山市南海区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 2 i (1 - i)$ 的虚部是（）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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2. 要得到函数 $y = \cos (2 x + 3)$ 的图象，只要将函数 $y = \cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{3}{2}$ 个单位 B、向右平移3个单位 C、向左平移3个单位 D、向右平移 $\frac{3}{2}$ 个单位

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3. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到了60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：
25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 202 206 233 236 238 255 260 263 264 265 293 293 294 296 301 302 303 305 305 306 321 323 325 326 328 340 343 346 348 350 352 355 357 357 358 360 370 380 383 385．

请你估算这批棉花的第75百分位数是（）

A、334 B、327 C、328 D、329

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4. 在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ ，则（）

A、 $A B C D$ 是矩形 B、 $A B C D$ 是菱形 C、 $A B C D$ 是正方形 D、 $A B C D$ 是平行四边形

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5. 若函数 $f (x) = \cos (x - \frac{π}{6}) + \cos (x + \frac{π}{6}) + \sin x + m$ 的最大值为1．则实数 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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6. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面向量，且 $\vec{a} = (4 ， 3)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b} = (3 ， 18)$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值等于（）

A、 $\frac{8}{65}$ B、－ $\frac{8}{65}$ C、 $\frac{16}{65}$ D、－ $\frac{16}{65}$

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7. $△ A B C$ 中， $\sin B = \frac{5}{13}$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $- \frac{16}{65}$ B、 $- \frac{56}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $- \frac{16}{65}$ 或 $\frac{56}{65}$

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8. 设函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{6})$ 在 $[- π，π]$ 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）

A、 $\frac{10 π}{9}$ B、 $\frac{7 π}{6}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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二、多选题

9. 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10%，属于第二档电价的家庭约占40%．属于第三档电价的家庭约占30%，属于第四档电价的家庭约占20%．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图．由此直方图可以做出的合理判断是（）

A、年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档 B、年均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档 C、年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档 D、该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数

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10. 已知 $m$ ， $n$ 是互不重合的直线， $α$ ， $β$ 是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ B、若 $m // α$ ， $m // β$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ， $α // β$ ，则 $n // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列命题正确的是（）

A、 $A B$ 与 $B_{1} D$ 所成的角为 $30 °$ B、 $B A_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成的角为 $60 °$ C、 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成的角为 $30 °$ D、平面 $A_{1} B D$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的二面角是直二面角

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12. 下面四个命题中的真命题为（）

A、若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ B、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若复数 $z \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$

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三、填空题

13. 一个正方体的顶点都在半径为 $R$ 的球面上，则该正方体的体积为．

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14. 农场种机的甲，乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如下：

品种	第1年	第2年	第3年	第4年	第5年	第6年
甲/kg	800	820	800	750	810	820
乙/kg	790	860	850	750	760	790

那种水稻的产量比较稳定的是（填甲或乙）．

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15. 写出一个最小正周期为 $π$ 的奇函数 $f (x) =$ ．（写一个即可）

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16. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为1， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ．则 $| \vec{A F} | =$ ， $∠ E M F$ 的余弦值为．

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四、解答题

17. 在条件：① $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ，② ${(c - b)}^{2} = a^{2} - b c$ ③ $\bar{m} = (a ， \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A ， \sin B)$ ．且 $\vec{m} // \bar{n}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：
$△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边长分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $b = 2$ ， $c = \sqrt{7}$ ， ▲ ．求 $△ A B C$ 的面积．

（选择多个条件时，按你第一个选择结果给分）

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18. 一木块如图所示，点 $P$ 在平面 $V A C$ 内，过点 $P$ 将木块锯开：

(1)、使直线 $V B$ 和 $V C$ 平行于截面，在木块表面应该怎样画线（保留作图痕迹，简要说明）．

(2)、若 $P$ 是 $△ V A C$ 的重心，在条件（1）下求锯开的两个多面体的体积之比，

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19. 在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组 $A$ ，小组 $B$ 代表两个打分组）
小组 $A$ ：

甲：7.5    7.5    7.8    7.8    8.0    8.0    8.2    8.3    8.4    9.5

乙：7.0    7.8    7.8    7.8    8.0    8.0   8.3    8.3    8.5    8.5

小组 $B$ ：

甲：7.4    7.5    7.5    7.6    8.0    8.0    8.2    8.9    9.0    9.0

乙：6.9    7.5    7.6    7.8    7.8    8.0    8.0    8.5    9.0    9.9

(1)、选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组 $A$ 与小组 $B$ 那个更专业？

(2)、根据（1）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；

(3)、若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）

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20. 如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中（图1）．点 $E$ 是 $A B$ 中点，点 $F$ 是 $B C$ 中点，将 $△ A E D$ ， $△ B E F$ ， $△ D C F$ 分别沿 $D E$ ， $E F$ ， $D F$ 折起．使 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点重合于点 $P$ （图2）

(1)、求证 $P D ⊥ E F$ ：

(2)、设 $M$ 是 $D F$ 的中点，求直线PM与平面 $E F D$ 所成角的正弦值．

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21. 如图，已知直线 $m // n$ ． $E D$ 垂直于直线 $m$ 、 $n$ ， $E D = 4$ ．点 $A$ 是 $E D$ 的中点， $B$ 是 $n$ 上一动点，作 $A C ⊥ A B$ ，且使 $A C$ 与直线 $m$ 交于 $C$ ，设 $∠ A B D = α$ ．

(1)、写出 $△ A B C$ 的周长 $l$ 关于角 $α$ 的函数解析式 $l (α)$ ；

(2)、求 $l (α)$ 的最小值．

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22. 如图，要测量河对岸的塔高 $A B$ ．请设计一个方案，包括：

(1)、指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；

(2)、用文字和公式写出计算 $A B$ 的长的步骤.

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