广东省潮州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = i (1 + i)$ 的实部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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2. 某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少（）

A、2人 B、4人 C、5人 D、1人

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3. 打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7,8,9中的一个数字，第四位是1,2,3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{10}$

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4. 在 $Δ A B C$ 中，a=15，b=10，A=60°，则 $\cos B$ =（）

A、－ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、－ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5. 已知两条不同直线 $l$ ， $m$ ，两个不同平面 $α$ ， $β$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $α / / β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则 $l / / m$ B、若 $α / / β$ ， $m / / α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $l / / m$ D、若 $α ⊥ β$ ， $l / / α$ ， $m / / β$ ，则 $l ⊥ m$

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6. 18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如， $| z | = | O Z |$ ，也即复数 $z$ 的模的几何意义为 $z$ 对应的点 $Z$ 到原点的距离.在复平面内，复数 $z_{0} = \frac{a + 2 i}{1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位， $a \in R$ ）是纯虚数，其对应的点为 $Z_{0}$ ，满足条件 $| z | = 1$ 的点 $Z$ 与 $Z_{0}$ 之间的最大距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ ， $D$ ，测得 $∠ B C D = 15 °$ ， $∠ C B D = 30 °$ ， $C D = 10 \sqrt{2} m$ ，并在 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为45°，则塔高 $A B =$ （）

A、 $30 \sqrt{2} m$ B、 $20 \sqrt{3} m$ C、 $30 m$ D、 $20 m$

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8. 在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // D C$ ， $A B = 2 D C$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ D、 $\vec{A E} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c - a \cos B = (2 a - b) \cos A$ ，则 $△ A B C$ 为

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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二、填空题

10. 已知复数 $- 5 + i$ 与 $- 3 - 2 i$ 分别表示向量 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O B}$ ，则表示向量 $\vec{A B}$ 的复数为.

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11. 柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为.

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12. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为.

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三、解答题

13. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $(2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) \cdot (\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}) = - 3$ .

(1)、求 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ .

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14. 某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组： $[50 ， 100) ， [100 ， 150) ， [150 ， 200) ， [200 ， 250) ， [250 ， 300)$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求续驶里程在 $[200 ， 300]$ 的车辆数；

(2)、求续驶里程的平均数；

(3)、若从续驶里程在 $[200 ， 300]$ 的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在 $[200 ， 250]$ 内的概率.

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15. 甲､乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m行､第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率.

0.5

0.3

0.2

0.6

0.5

0.3

0.8

0.7

0.6

(1)、求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；

(2)、比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？

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0.5	0.3	0.2
0.6	0.5	0.3
0.8	0.7	0.6