湘教版数学九年级上册同步训练《第1章反比例函数》单元检测B卷

试卷更新日期：2021-08-26 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ ，则下列描述错误的是（）

A、图象位于第一，第三象限 B、图象必经过点 $(4 ， \frac{3}{2})$ C、图象不可能与坐标轴相交 D、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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2. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ，当 $x < 0$ 时，y随x的增大而减小，那么一次的数 $y = - k x + k$ 的图像经过第（）

A、一，二，三象限 B、一，二，四象限 C、一，三，四象限 D、二，三，四象限

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3. 已知三个点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），（x₃ ， y₃）在反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象上，其中x₁＜x₂＜0＜x₃ ，下列结论中正确的是（）

A、y₂＜y₁＜0＜y₃ B、y₁＜y₂＜0＜y₃ C、y₃＜0＜y₂＜y₁ D、y₃＜0＜y₁＜y₂

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $A B$ 垂直于 $x$ 轴于点 $C$ （点 $C$ 在原点的右侧），并分别与直线 $y = x$ 和双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 相交于点 $A$ ， $B$ ，且 $A C + B C = 4$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ 或 $2 - \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + 2$ 或 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{4}{x}$ $(x > 0)$ 与 $y = x - 1$ 的图像交于点 $P (a ， b)$ ，则代数式 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 已知正比例函数 $y = k_{1} x$ 和反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 $k_{1} \cdot k_{2} > 0$ 的是（）

A、①② B、①④ C、②③ D、③④

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7. 如图，点B在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上，点C在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上，且 $B C / / y$ 轴， $A C ⊥ B C$ ，垂足为点C ，交y轴于点A ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S_△_OCD＝ $\frac{3}{2}$ ，则k的值为（）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、2 D、1

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9. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的一点，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴，垂足为点C ， D为AC的中点，若 $Δ A O D$ 的面积为1，则k的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、4

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10. 已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是（）

A、y= $\frac{2}{x}$ B、y=﹣ $\frac{2}{x}$ C、y= $\frac{8}{x}$ D、y=﹣ $\frac{8}{x}$

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11. 如图，平行于y轴的直线分别交 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 与 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $k_{1} - k_{2}$ B、 $\frac{1}{2} (k_{1} - k_{2})$ C、 $k_{2} - k_{1}$ D、 $\frac{1}{2} (k_{2} - k_{1})$

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12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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二、填空题

13. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $(1 ， 1)$ ，则k的值等于.

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14. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 $A (x ， y)$ ，我们把点 $B (\frac{1}{x} ， \frac{1}{y})$ 称为点A的“倒数点”.如图，矩形 $O C D E$ 的顶点C为 $(3 ， 0)$ ，顶点E在y轴上，函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象与 $D E$ 交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 $O C D E$ 的一边上，则 $△ O B C$ 的面积为.

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15. 如图，已知反比例函数过A ， B两点，A点坐标 $(2 ， 3)$ ，直线 $A B$ 经过原点，将线段 $A B$ 绕点B顺时针旋转90°得到线段 $B C$ ，则C点坐标为．

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16. 已知：函数y₁＝|x|与函数y₂＝ $\frac{1}{| x |}$ 的部分图象如图所示，有以下结论：
①当x＜0时，y₁ ， y₂都随x的增大而增大；

②当x＜﹣1时，y₁＞y₂；

③y₁与y₂的图象的两个交点之间的距离是2；

④函数y＝y₁+y₂的最小值是2.

则所有正确结论的序号是.

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (1 ， 2)$ 和点 $B (- 1 ， m)$ ，则 $m$ 的值为．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标 $(\frac{5}{2} ， 2)$ . 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （常数 $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是.

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三、解答题

19. 如图所示，直线 $y = k_{1} x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 交于A、B两点，已知点B的纵坐标为 $- 3$ ，直线AB与x轴交于点C ，与y轴交于点 $D (0 ， - 2)$ ， $O A = \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ A O C = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求直线AB的解析式；

(2)、若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点， $△ O C P$ 的面积是 $△ O D B$ 的面积的2倍，求点P的坐标；

(3)、直接写出不等式 $k_{1} x + b \leq \frac{k_{2}}{x}$ 的解集．

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20. 在直角坐标系中，设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ （ $k_{1}$ 是常数， $k_{1} > 0$ ， $x > 0$ ）与函数 $y_{2} = k_{2} x$ （ $k_{2}$ 是常数， $k_{2} \neq 0$ ）的图象交于点A，点A关于 $y$ 轴的对称点为点B。

(1)、若点B的坐标为（-1，2），
①求 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的值； ②当 $y_{1} < y_{2}$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围；

(2)、若点B在函数 $y_{3} = \frac{k_{3}}{x}$ （ $k_{3}$ 是常数， $k_{3} \neq 0$ ）的图象上，求 $k_{1} + k_{3}$ 的值。

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21. 如图， $△ A O B$ 中， $∠ A B O = 90 °$ ，边OB在x轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N， $S_{△ A O B} = 12 ， A N = \frac{9}{2}$ .

(1)、求k的值；

(2)、求直线MN的解析式.

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{2}$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点 $A (a ， 3)$ ，与x轴相交于点B.

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当 $△ A B D$ 是以 $B D$ 为底的等腰三角形时，求直线 $A D$ 的函数表达式及点C的坐标.

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23. 如图，反比例函数的图象与过点 $A (0 ， - 1)$ ， $B (4 ， 1)$ 的直线交于点B和C.

(1)、求直线AB和反比例函数的解析式.

(2)、已知点 $D (- 1 ， 0)$ ，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求 $△ B C E$ 的面积.

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24. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象交于 $A (1 ， m)$ ， $B$ 两点.

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、若点 $C$ 在 $x$ 轴上，且 $△ B O C$ 的面积为3，求点 $C$ 的坐标.

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25. 阅读下面的材料：
如果函数 $y = f (x)$ 满足：对于自变量 $x$ 取值范围内的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，

（ 1 ）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是增函数；

（ 2 ）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是减函数.

例题：证明函数 $f (x) = x^{2} (x > 0)$ 是增函数.

证明：任取 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} > 0$

则 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2})$

∵ $x_{1} < x_{2}$ 且 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} > 0$

∴ $x_{1} + x_{2} > 0$ ， $x_{1} - x_{2} < 0$

∴ $(x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2}) < 0$ ，即 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < 0$ ， $f (x_{1}) < f (x_{2})$

∴函数 $f (x) = x^{2} (x > 0)$ 是增函数.

根据以上材料解答下列问题：

(1)、函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ， $f (1) = \frac{1}{1} = 1$ ， $f (2) = \frac{1}{2}$ ， $f (3) =$ ， $f (4) =$ ；

(2)、猜想 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ 是函数 ▲ （填“增”或“减”），并证明你的猜想.

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26. 如图，点P为函数y＝ $\frac{1}{2}$ x+1与函数y＝ $\frac{m}{x}$ （x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B ．

(1)、求m的值；

(2)、点M是函数y＝ $\frac{m}{x}$ （x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D ，若tan∠PMD＝ $\frac{1}{2}$ ，求点M的坐标．

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27. 如图，矩形 $A B C D$ 的两边 $A B ， B C$ 的长分别为3，8，C ， D在y轴上，E是 $A D$ 的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点E ，与 $B C$ 交于点F ，且 $C F - B E = 1$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、在y轴上找一点P ，使得 $S_{△ C E P} = \frac{2}{3} S_{矩形 A B C D}$ ，求此时点P的坐标．

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