高中数学人教A版（2019）必修二第六章平面向量及其应用

试卷更新日期：2021-08-25 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $3$ D、 $- 3$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小为（）

A、 $0 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 9$ ， $A B = 3$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个平面向量，则下列叙述正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \pm \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq 0$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$

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5. 已知 $C$ 为 $Δ A B C$ 的一个内角，向量 $\overset{⇀}{m} = (2 \cos C - 1 ， - 2) ， \overset{⇀}{n} = (\cos C ， \cos C + 1)$ .若 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ，则角 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 若两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 若向量 $\vec{a} = (x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (0 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{c} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ ，则 $\cos 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为DC上靠近C点处的三等分点，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A B} - \vec{A D}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \vec{A D}$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．则下列命题正确的是（）

A、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $b = 3$ ， $B = 30 °$ ，则 $A = 60 °$ B、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ C、若 $\frac{c}{b} < \cos A$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 3$ ， $c^{2} + 2 a b = a^{2} + b^{2}$ ， $△ A B C$ 的面积为3

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10. 设向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| \vec{b} - 2 \vec{a} | = \sqrt{5}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ D、 $< \vec{a} ， \vec{b} > = 60^{\circ}$

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11. 已知平面四边形 $A B C D$ ， $O$ 是 $A B C D$ 所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，则 $A B C D$ 是平行四边形 B、若 $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{A B} - \vec{A D} |$ ，则 $A B C D$ 是矩形 C、若 $| \vec{O A} - \vec{O B} | = | \vec{O A} + \vec{O B} - 2 \vec{O C} |$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + m (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \sin ∠ A B C} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \sin ∠ A C B}) (m > 0)$ ，则动点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的重心

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12. 在四边形 $A B C D$ 中， $M$ 是边 $A B$ 上一点，且满足 $M A = M B = M C = M D = 1$ ， $∠ C M D = 120 °$ .若点 $N$ 在线段 $C D$ （端点 $C$ ， $D$ 除外）上运动，则 $\vec{N A} \cdot \vec{N B}$ 的可能取值是（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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三、填空题

13. 已知向量 $a = (1 ， 2) ， b = (m ， 3)$ ，若 $(a + 2 b) // b$ ，则 $m =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， B D$ 为边AC上的高，若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，则BD的最大值是.

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15. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}, | \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = | \vec{c} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} =$ ．

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16. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 8 ， | \vec{b} | = 5$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知向量 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ．

(1)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(2)、向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，设 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ （ $x$ 、 $y$ 为实数）.

(1)、求 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若 $\vec{A B} = (1 ， 3)$ ， $\vec{A C} = (4 ， 3)$ ，求 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ .

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19. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $Δ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $2 b \cos B = c \cos A + a \cos C$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 3$ ，求 $Δ A B C$ 的面积的最大值．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边长分别为 $a ， b ， c ， b = a + 1 ， c = a + 2$ ．

(1)、若 $2 \sin C = 3 \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、是否存在正整数a，使得 $△ A B C$ 为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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21. 已知在 $△ A B C$ 中， $c = 2 b \cos B$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、在下列三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，并求出 $B C$ 边上的中线的长度．
① $c = \sqrt{2} b$ ；②周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ；③面积为 $S_{Δ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；

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22. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 c - a = 2 b \cos A$ ， $b = 3$ ．
（Ⅰ）求 $B$ 的大小；

（Ⅱ）若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

（Ⅲ）求 $\frac{a c}{a + c}$ 的最大值．

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高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 平面向量及其应用

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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