湖南省长沙市长沙县2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-25 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. $2 - \sqrt{2} i$ 的虚部是（）

A、-2 B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个平面向量，则“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”是“ $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 水平放置的ABC的直观图如图，其中B'O'=C'O'=1，A'O'= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么原△ ABC 是一个三角形．（）

A、等边 B、三边互不相等的 C、三边中只有两边相等的等腰 D、直角

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4. 从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和不大于8”这一事件包含的样本点的个数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 我国古代数学名若《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用样本量比例分配的分层随机抽样方法），则北面共有多少人（）

A、8000 B、8100 C、8200 D、8300

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6. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} = (1 ， - 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} |$ =2 D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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7. 袋内有红、白、黑球各为3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）

A、至少有一个白球；都是白球 B、至少有一个白球；至少有一个红球 C、恰有一个白球；一个白球一个黑球 D、至少有一个白球；红、黑球各一个

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8. 设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（）

A、m⊥n，m∥α⇒n⊥α B、m⊥n，m⊥α⇒n∥α C、m∥n，m⊥α⇒n⊥α D、m∥n，m∥α=n∥α

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. 已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，给出下列结论，其中正确的有（）

A、 $\vec{A C} = - \vec{b}$ B、 $\vec{B E} = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{B A} = \vec{a} + \vec{b}$ D、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{a}$

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10. 下列说法正确的有（）

A、对任意的事件A，都有P（A）>0 B、随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 C、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 D、若事件 $A \subseteq$ 事件B，则 $P (A) \leq P (B)$

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11. 为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，测量了他们的体重（单位：千克），健身之前他们的体重情况如三维饼图①所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图②所示，对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）

A、他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数不变 B、他们健身后，体重在区间[100，110）内的人数减少了2 C、他们健身后，体重在区间[110，120）内的肥胖者体重都有减轻 D、他们健身后，这20名肥胖者的体重的中位数位于区间[90，100）

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12. 如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是（）

A、PD∥平面OMN B、平面PCD∥平面OMN C、ON⊥PB D、直线PD与直线MN所成角的大小为90°

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知复数z满足z=1+i（i是虚数单位），则 $\bar{z} =$ ．

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14. 已知若球O的半径为2，则球O的表面积为．

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15. 2021年湖南新高考实行“3+1+2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为．

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16. 如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD=200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD=30°，则塔高AB= ．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分。

17. 若复数 $z_{1} = 1 + a i$ （ $a \in R$ ），复数 $z_{2} = 3 - 4 i$ ．

(1)、求 $| z_{2} |$ ；

(2)、若 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，求实数a的值；

(3)、若a=2，求 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ．

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18. 已知向量 $\vec{a}$ =（-2，1）， $\vec{b}$ =（1，-2）， $\vec{m} = \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} - k \vec{b}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，求k的值；

(3)、当k=1时，求 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 夹角的余弦值．

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19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $a = 2 \sqrt{2}$ ，
$b = 5$ ， $c = \sqrt{13}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、求 $\sin A$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 A + \frac{π}{3})$ 的值．

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20. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…．[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．

(1)、求图中x的值；

(2)、求这组数据的平均数和中位数；

(3)、已知满意度评分值在[50，60）内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．

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21. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ．假设两人
射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

(1)、若甲、乙两人各射击一次，求均没有击中目标的概率；

(2)、若甲连续射击，命中为止，求甲恰好射击3次结束射击的概率；

(3)、若乙连续射击，直至命中2次为止，求乙恰好射击3次结束射击的概率．

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22. 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC与△A₁B₁C₁都为正三角形，且AA₁⊥面ABC，F，F₁分别是AC，A₁C₁的中点、求证：

(1)、AF₁∥FC₁；

(2)、平面AB₁F₁∥平面C₁BF；

(3)、平面AB₁F₁⊥平面ACC₁A₁ ．

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