广东省中考数学真题汇编（近三年）专题3 方程与不等式

试卷更新日期：2021-08-25 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 不等式 $x - 1 > 2$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 方程 $\frac{1}{x - 3} = \frac{2}{x}$ 的解为（）

A、 $x = - 6$ B、 $x = - 2$ C、 $x = 2$ D、 $x = 6$

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3. 若 $| a - \sqrt{3} | + \sqrt{9 a^{2} - 12 a b + 4 b^{2}} = 0$ ，则 $a b =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、9

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4. 直线 $y = x + a$ 不经过第二象限，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 实数解的个数是（）.

A、0个 B、1个 C、2个 D、1个或2个

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 - 3 x \geq - 1 \\ x - 1 \geq - 2 (x + 2) \end{array}$ 的解集为（）

A、无解 B、 $x \leq 1$ C、 $x \geq - 1$ D、 $- 1 \leq x \leq 1$

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6. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k - 1) x - k + 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ ， $(x_{1} - x_{2} + 2) (x_{1} - x_{2} - 2) + 2 x_{1} x_{2}$ $= - 3$ ，则k的值（）

A、0或2 B、-2或2 C、-2 D、2

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7. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的两个实数根，下列结论错误的是（）

A、 $x_{1} \neq x_{2}$ B、 $x_{1}^{2} - 2 x_{1} = 0$ C、 $x_{1} + x_{2} = 2$ D、 $x_{1} \cdot x_{2} = 2$

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8. 甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{120}{x} = \frac{150}{x - 8}$ B、 $\frac{120}{x + 8} = \frac{150}{x}$ C、 $\frac{120}{x - 8} = \frac{150}{x}$ D、 $\frac{120}{x} = \frac{150}{x + 8}$

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9. 《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意列方程组得（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 100 \\ 300 x + \frac{7}{500} y = 10000 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 100 \\ 300 x + \frac{500}{7} y = 10000 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 100 \\ \frac{7}{500} x + 300 y = 10000 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 100 \\ \frac{500}{7} x + 300 y = 10000 \end{array}$

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二、填空题

10. 已知方程 $x^{2} + m x - 3 = 0$ 的一个根是1，则m的值为．

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11. 二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = - 2 \\ 2 x + y = 2 \end{array}$ 的解为．

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12. 若一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ （b ， c为常数）的两根 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $- 3 < x_{1} < - 1 ， 1 < x_{2} < 3$ ，则符合条件的一个方程为．

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13. 方程 $\frac{x}{x + 1} = \frac{3}{2 x + 2}$ 的解是．

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14. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 上的两个点，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“＜”或“＞”或“＝”）．

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三、计算题

15. 解方程组 ${\begin{array}{l} y = x - 4 \\ x + y = 6 \end{array}$

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16. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 1 ⩾ x + 2 \\ x + 5 < 4 x - 1 \end{array}$ ．

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17. 解不等式组： ${\begin{matrix} x - 1 > 2 \\ 2 (x + 1) > 4 \end{matrix} \begin{matrix} ① \\ ② \end{matrix}$

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18. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - y = 1 \\ x + 3 y = 9 \end{array}$

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四、综合题

19. 民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次

(1)、若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

(2)、“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

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20. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．

(1)、求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

(2)、设猪肉粽每盒售价x元 $(50 \leq x \leq 65) ， y$ 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．

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21. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $G ： y = a x^{2} + b x + c (0 < a < 12)$ 过点 $A (1 ， c - 5 a)$ ， $B (x_{1} ， 3)$ ， $C (x_{2} ， 3)$ ，顶点 $D$ 不在第一象限，线段 $B C$ 上有一点 $E$ ，设 $△ O B E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ O C E$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S_{1} = S_{2} + \frac{3}{2}$ ．

(1)、用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

(2)、求点 $E$ 的坐标；

(3)、若直线 $D E$ 与抛物线 $G$ 的另一个交点 $F$ 的横坐标为 $\frac{6}{a} + 3$ ，求 $y = a x^{2} + b x + c$ 在 $1 < x < 6$ 时的取值范围（用含 $a$ 的式子表示）．

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22. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} a x + 2 \sqrt{3} y = - 10 \sqrt{3} \\ x + y = 4 \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} x - y = 2 \\ x + b y = 15 \end{array}$ 的解相同．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若一个三角形的一条边的长为 $2 \sqrt{6}$ ，另外两条边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．

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23. 某社区拟建 $A$ ， $B$ 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 $A$ 类摊位的占地面积比每个 $B$ 类摊位的占地面积多2平方米，建 $A$ 类摊位每平方米的费用为40元，建 $B$ 类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建 $A$ 类摊位的个数恰好是用同样面积建 $B$ 类摊位个数的 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求每个 $A$ ， $B$ 类摊位占地面积各为多少平方米？

(2)、该社拟建 $A$ ， $B$ 两类摊位共90个，且 $B$ 类摊位的数量不少于 $A$ 类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．

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24. 有A，B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．

(1)、求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少?

(2)、A，B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量最大为多少度?

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25. 某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.

(1)、若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？

(2)、若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？

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26. 探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 $\frac{1}{2}$ 倍、k倍．

(1)、若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？（填“存在”或“不存在”）．

(2)、继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：

①设新矩形长和宽为x、y ，则依题意 $x + y = 10$ ， $x y = 12$ ，

联立 ${\begin{array}{l} x + y = 10 \\ x y = 12 \end{array}$ 得 $x^{2} - 10 x + 12 = 0$ ，再探究根的情况：

根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 $\frac{1}{2}$ 倍；

②如图也可用反比例函数与一次函数证明 $l_{1}$ ： $y = - x + 10$ ， $l_{2}$ ： $y = \frac{12}{x}$ ，那么，

a ．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？

b ．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 $\frac{1}{2}$ ，若存在，用图像表达；

c ．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．

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27. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．

(1)、肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？

(2)、由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？

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二、填空题

三、计算题

四、综合题

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