2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题一数与式 1.3 因式分解

试卷更新日期：2021-08-25 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（）

A、 $a (4 - y^{2}) = 4 a - a y^{2}$ B、 $x^{2} + 3 x - 1 = x (x + 3) - 1$ C、 $4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} = {(2 x - 3 y)}^{2}$ D、 $x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y$

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2. 多项式 $a x^{2} - 4 a$ 与多项式 $x^{2} + 4 x + 4$ 的公因式是（）

A、 $x + 2$ B、 $x - 2$ C、 $x^{2} - 2$ D、 ${(x - 2)}^{2}$

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3. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）

A、 $4 x^{2} - 1$ B、 $4 x^{2} + 4 x - 1$ C、 $x^{2} - x y + y^{2}$ D、 $x^{2} - x + \frac{1}{4}$

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4. 如果二次三项式 $x^{2} + 4 x + p$ 能在实数范围内分解因式，那么 $p$ 的取值范围是（）

A、 $p > 4$ B、 $p < 4$ C、 $p \geq 4$ D、 $p \leq 4$

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5. 若多项式 $x^{2} + a x - 3$ 可分解为 $(x + b) (x + c)$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为整数，则 $a$ 的值是（）

A、2 B、4 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 4$

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6. 在x²-kx+8中，有一个因式为（x+2），则k的值为（）

A、6 B、2 C、-2 D、-6

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7. 下列因式不能整除 $4 x^{3} y + 4 x^{2} y^{2} + x y^{3}$ （）

A、 $x y$ B、 $2 x + y$ C、 $x^{2} + 2 x y$ D、 $2 x y + y^{2}$

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8. 已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为 $x^{2} - 49$ ，乙与丙相乘，积为 $x^{2} - 9 x + 14$ ，则甲与丙相加的结果是（）

A、 $2 x + 5$ B、 $2 x - 5$ C、 $2 x + 9$ D、 $2 x - 9$

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9. 现有边长为a的小正方形卡片一张，长宽分别为a、b的长方形卡片6张，边长为b的大正方形卡片10张，从这17张卡片中取出16张来拼图，能拼成长方形或正方形有（　　）

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

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10. 对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ 这类特殊的三次方程可以这样来解.先将方程的左边分解因式： $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x (x^{2} - n^{2}) - (x - n) = (x - n) (x^{2} + n x - 1)$ ，这样原方程就可变为 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0$ ，即有 $x - n = 0$ 或 $x^{2} + n x - 1 = 0$ ，因此，方程 $x - n = 0$ 和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是原方程的解.据此，显然 $x^{3} - 5 x + 2 = 0$ 有一个解为 $x_{1} = 2$ ，设它的另两个解为 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则式子 $x_{2} x_{3} - x_{2} - x_{3}$ 的值（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、7

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二、填空题

11. 因式分解：m²+2m=

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12. 分解因式： $a^{2} - b^{2} - 2 b - 1 =$ ．

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13. 分解因式： $(m + 1) (m - 9) + 8 m =$ .

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14. 在实数范围内分解因式： $a^{2} - 2 \sqrt{3} a + 3$ ＝.

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15. 已知 $x y = 2 ， x - 3 y = 3$ ，则 $2 x^{3} y - 12 x^{2} y^{2} + 18 x y^{3} =$ .

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16. 若多项式x²+m x+n可以因式分解为 $(x - 2) (x + 3)$ ，则 $m - n$ 的值为．

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17. 若 $2 a + b = 5$ ， $a + 2 b = 4$ ，则 $a^{2} - b^{2} =$ .

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18. 已知 $m, n, p$ 为实数，若 $x - 1, x + 4$ 均为多项式 $x^{3} + m x^{2} + n x + p$ 的因式，则 $2 m - 2 n - p + 86 =$ .

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三、计算题

19. 因式分解：

(1)、a²-16；

(2)、-2x³+8x²-8x

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20. 因式分解：

(1)、 $2 x^{3} y + 4 x^{2} y^{2} + 2 x y^{3}$

(2)、 $4 a^{2} (a - b) + (b - a)$

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四、解答题

21. 在分解因式x²＋ax＋b时，小明看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；小王看错了a，分解结果为(x－1)(x－9)，求ab的值．

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22. 如果 $a$ ， $b$ ， $c$ 是三角形 $A B C$ 的三边，并且满足等式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + c a$ ，试确定三角形 $A B C$ 的形状

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23. 已知 $x^{2} + 2 x + 1$ 是多项式 $x^{3} - x^{2} + a x + b$ 的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解.

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24. 如图，将一块长为 a（cm）的正方形纸片的四角个剪去一个边长为 bcm（b＜ $\frac{a}{2}$ ）的小正方形．用含 a，b 的代数式表示剩余部分的面积，并用分解因式法求当 a=9.7cm， b=0.15cm 时，剩余部分的面积．

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25. 已知 a，b，c 为△ABC 的三条边的长．试判断代数式（a²-2ac+c²）-b² 的值的符号，并说明理由．

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26. 用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．
例： $2008^{3} - 2008$ 能被2009整除吗？

解: $2008^{3} - 2008 = 2008 (2008^{2} - 1) = 2008 (2008 + 1) (2008 - 1) = 2008 \times 2009 \times 2007$

∵ $2008^{3} - 2008$ 中有因数2009，

∴ $2008^{3} - 2008$ 一定能被2009整除．

请你试一试：已知数字 $(2^{48} - 1)$ 恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．

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27. 实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.
实验过程：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.

探索问题：

(1)、小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片张，长方形纸片张；

(2)、选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；

(3)、试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内.

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28. 我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式.类似地，我们可以借助一个棱长为 $a$ 的大正方体进行以下探索：

(1)、在大正方体一角截去一个棱长为 $b (b < a)$ 的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为；

(2)、将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵ $B C = a$ ， $A B = a - b$ ， $C F = b$ ，∴长方体①的体积为 $a b (a - b)$ .
类似地，长方体②的体积为，长方体③的体积为；（结果不需要化简）

(3)、将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为；

(4)、用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为.

(5)、已知 $a - b = 4$ ， $a b = 2$ ，求 $a^{3} - b^{3}$ 的值.

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二、填空题

三、计算题

四、解答题

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