河南省中考数学真题模拟题分类卷5 图形的变换及锐角三角函数（近几年）

试卷更新日期：2021-08-25 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）

A、主视图相同 B、左视图相同 C、俯视图相同 D、三种视图都不相同

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3. 如图，胶带的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，在标号为①的小正方体上方添加一个小正方体后，所得几何体的三视图与原几何体的三视图相比没有发生变化的是（）

A、主视图和俯视图 B、主视图和左视图 C、左视图和俯视图 D、主视图、左视图和俯视图

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5. 下列立体图形的主视图与左视图相同是（）

A、①②③ B、②③ C、①②④ D、①②③④

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6. 小敏计划在暑假参加海外游学，她打算制作一个正方体礼盒送给外国朋友.如图所示是她设计的礼盒的平面展开图，请你判断，正方体礼盒上与“孝”字相对的面上的字是（）

A、义 B、仁 C、智 D、信

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7. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图， $▱ O A B C$ 的顶点 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 2)$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上，延长 $B A$ 交 $y$ 轴于点 $D$ .将 $△ O D A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转得到 $△ O D^{'} A^{'}$ ，当点 $D$ 的对应点 $D^{'}$ 落在 $O A$ 上时， $D^{'} A^{'}$ 的延长线恰好经过点 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(2 \sqrt{3} ， 0)$ B、 $(2 \sqrt{5} ， 0)$ C、 $(2 \sqrt{3} + 1 ， 0)$ D、 $(2 \sqrt{5} + 1 ， 0)$

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10. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（）

A、厉 B、害 C、了 D、我

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11. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径作弧交 $A B$ 于点 $D$ ，再分别以点 $C$ ， $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $\frac{C E}{B E}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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二、填空题

12. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 1$ .第一步，在 $A B$ 边上找一点 $D$ ，将纸片沿 $C D$ 折叠，点 $A$ 落在 $A^{'}$ 处，如图2，第二步，将纸片沿 $C A^{'}$ 折叠，点 $D$ 落在 $D^{'}$ 处，如图3.当点 $D^{'}$ 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段 $A^{'} D^{'}$ 的长为.

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13. 如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上一动点．将 $Δ O C E$ 沿 $O E$ 翻折得到 $△ O C' E$ ， $O C'$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，且点 $C'$ 在 $B C$ 下方，连接 $B C'$ ．当 $△ B E C'$ 是直角三角形时， $△ B E C'$ 的周长为．

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15. 如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 的中点. $F$ 是 $A B$ 上一动点，将 $Δ A E F$ 沿直线 $E F$ 折叠，点 $A$ 落在点 $A'$ 处.在 $E F$ 上任取一点 $G$ ，连接 $G A'$ ， $G C$ ，则 $A' G + G C$ 的最小值为.

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16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D，E分别是AB，AC边的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置，则整个旋转过程中线段DE所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为.

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17. 已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为.

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 外作等腰直角三角形 $C D E ， ∠ C E D = 90 ° ， D E = C E$ ，连接 $B E$ ，则 $\tan ∠ D E B =$ .

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19. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = a$ ，点E在边BC上，且 $B E = \frac{3}{5} α$ .连接AE，将 $Δ A B E$ 沿AE折叠，若点B的对应点 $B^{'}$ 落在矩形ABCD的边上，则a的值为.

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20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为.

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三、解答题

21. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点 $A$ 与佛像 $B D$ 的底部 $D$ 在同一水平线上.已知佛像头部 $B C$ 为 $4 m$ ，在 $A$ 处测得佛像头顶部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，头底部 $C$ 的仰角为 $37.5 °$ ，求佛像 $B D$ 的高度（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $\sin 37.5 ° \approx 0.61$ ， $\cos 37.5 ° \approx 0.79$ ， $\tan 37.5 ° \approx 0.77$ ）

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22. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.（精确到1m.参考数据： $\sin 34^{°} \approx 0.56$ ， $\cos 34^{°} = 0.83$ ， $\tan 34^{°} \approx 0.67$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. “高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）

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24. 如图，某公园有一小亭 $C$ ，它周围350米内是文物保护区.某勘探队员在公园由西向东行走，在 $A$ 处测得小亭 $C$ 在北偏东 $60 °$ 的方向上，若勘探队员行走的速度是每分钟60米，从点 $A$ 走到点 $B$ 需要20分钟，此时测得小亭 $C$ 在北偏西 $53 °$ 的方向上.若该公园打算沿射线 $A B$ 的方向修一条笔直的小路，则此小路是否会通过文物保护区？请说明理由.（结果保留整数.参考数据： $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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25. 如图，一艘游轮在海面上点O处遇到大雾，向位于A处的救援船发出求救信号，救援船指定B地为相遇地点，其中游轮在救援船的北偏西51°方向上，在相遇点B的南偏西54°方向上，相遇点B在救援船的北偏东9°方向上，救援船以50海里/时的速度行驶2小时到达B地.若游轮的速度是30海里/时，求游轮用多长时间能到达B地.(结果保留一位小数.参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73)

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26. 疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家.如图，一条笔直的街道 $D C$ ，在街道 $C$ 处的正上方 $A$ 处有一架无人机，该无人机在 $A$ 处测得俯角为 $45 °$ 的街道 $B$ 处有人聚集，然后沿平行于街道 $D C$ 的方向再向前飞行60米到达 $E$ 处，在 $E$ 处测得俯角为 $37 °$ 的街道 $D$ 处也有人聚集，已知两处聚集点 $B 、 D$ 之间的距离为120米，求无人机飞行的高度 $A C$ .(参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ )

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四、综合题

27. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道 $M P$ 上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为 $22 °$ ，然后沿 $M P$ 方向前进 $16 m$ 到达点N处，测得点 $A$ 的仰角为 $45 °$ .测角仪的高度为 $1.6 m$ ，

(1)、求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $s i n 22 ° \approx 0.37 ， c o s 22 ° \approx 0. 93 ， t a n 22 ° \approx 0.40 ， \sqrt{2} \approx 1.41$ )；

(2)、“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6 m$ ，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

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28. 如图

(1)、问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
① $\frac{A C}{B D}$ 的值为；
②∠AMB的度数为．

(2)、类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断 $\frac{A C}{B D}$ 的值及∠AMB的度数，并说明理由；

(3)、拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB= $\sqrt{7}$ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

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29. 中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市著名地标之一．小明和小亮利用卷尺和自制的测角仪测量福塔的高度．如图，小明站在点 $A$ 处测得福塔顶端 $D$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，小亮站在点 $B$ 处测得福塔顶端 $D$ 的仰角为 ${72.3}^{\circ}$ ．已知测角仪高度为 $1 m$ ，两人相距 $100 m$ （点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在一条直线上）．

(1)、求中原福塔 $C D$ 的高度；(结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 72.3 \approx 0.95$ ， $\cos 72.3 \approx 0.30$ ， $\tan 72.3 \approx 3.13$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ )

(2)、“景点简介”显示，中原福塔总高 $388m$ ．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

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30. 如图，某人在山坡坡脚 $C$ 处测得一座建筑物顶点 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，沿山坡向上走到 $P$ 处再测得该建筑物顶点 $A$ 的仰角为 $45 °$ .已知 $B C = 80$ 米， $A P$ ， $B C$ 的延长线交于点 $D$ ，山坡坡度为 $\frac{1}{3}$ （即 $\tan ∠ P C D = \frac{1}{3}$ ）.注：取 $\sqrt{3}$ 为 $1.7$ .

(1)、求该建筑物的高度（即 $A B$ 的长）.

(2)、求此人所在位置点 $P$ 的铅直高度（测倾器的高度忽略不计）.

(3)、若某一时刻， $1$ 米长木棒竖放时，在太阳光线下的水平影长是 $1.5$ 米，则同一时刻该座建筑物顶点 $A$ 投影与山坡上点 $M$ 重合，求点 $M$ 到该座建筑物的水平距离.

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31. 蔡明园公园位于河南省驻马店市上蔡县蔡都镇西南部，其公园南山门被誉为“亚洲第一门”，学完了三角函数知识后，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量南山门最高点的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.为了减小测量误差，小组在测量仰角以及两点间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表：

课题	测量南山门最高点的高度
实物图
成员	组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
测量工具	卷尺、测角仪……
测量示意图				说明：AB表示南山门最高点到地面的竖直距离.测角仪的高度CD-EF-1.5m点C.F与点B在同一直线上，点C.F之间的距离可直接测将，且点A、B.C.D.E、F在同一平面内.
测量数据	第一次	第二次	平均值
	35.95°	36.05°	36°
	45.09°	44.91°	45°
	79.58m	79.62m	79.6m
……	……

(1)、请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求南山门最高点的高度AB.（结果精确到0.1m，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，

\sqrt{2}

≈1.41）

(2)、该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可）（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答.）

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32. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” $A P$ ， $B P$ 的连接点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，当点 $P$ 在 $⊙ O$ 上转动时，带动点 $A$ ， $B$ 分别在射线 $O M$ ， $O N$ 上滑动， $O M ⊥ O N$ .当 $A P$ 与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ 恰好落在 $⊙ O$ 上，如图2.

请仅就图2的情形解答下列问题.

(1)、求证： $∠ P A O = 2 ∠ P B O$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $A P = \frac{20}{3}$ ，求 $B P$ 的长.

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33. 将正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 绕点A逆时针旋转至 $A B^{'}$ ，记旋转角为 $α$ .连接 $B B^{'}$ ，过点D作 $D E$ 垂直于直线 $B B^{'}$ ，垂足为点E，连接 $D B^{'} ， C E$ ，

(1)、如图1，当 $α = 60 °$ 时， $Δ D E B^{'}$ 的形状为，连接 $B D$ ，可求出 $\frac{B B^{'}}{C E}$ 的值为；

(2)、当 $0 ° < α < 360 °$ 且 $α \neq 90 °$ 时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点 $B^{'} ， E ， C ， D$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 $\frac{B E}{B' E}$ 的值.

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34. 在 $Δ A B C$ ， $C A = C B$ ， $∠ A C B = α$ .点P是平面内不与点A，C重合的任意一点.连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.

(1)、观察猜想
如图1，当 $α = 60^{°}$ 时， $\frac{B D}{C P}$ 的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.

(2)、类比探究
如图2，当 $α = 90^{°}$ 时，请写出 $\frac{B D}{C P}$ 的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由.

(3)、解决问题
当 $α = 90^{°}$ 时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 $\frac{A D}{C P}$ 的值.

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35. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 120^{\circ}$ ，将边 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $A B'$ ，记旋转角为 $α$ ．过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，过点 $B$ 作 $B E$ $⊥$ 直线 $B' D$ 于点 $E$ ，连接 $E F$ ．

(1)、（探索发现）
填空：当 $α = 60^{\circ}$ 时， $∠ E B B'$ = $^{\circ}$ ． $\frac{E F}{D B'}$ 的值是

(2)、（验证猜想）
当 $0^{\circ} < α < 360^{\circ}$ 时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；

(3)、（拓展应用）
在（2）的条件下，若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，当 $Δ B D E$ 是等腰直角三角形时，请直接写出线段 $E F$ 的长．

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36. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P旋转 $α$ 得到线段DP，连结AP，CD，BD.

(1)、观察猜想：如图1，当 $α = 60 °$ 时，线段CP绕点P顺时针旋转 $α$ 得到线段DP，则 $\frac{B D}{A P}$ 的值是，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是；

(2)、类比探究：如图2，当 $α = 90 °$ 时，线段CP绕点P顺时针旋转 $α$ 得到线段 $D P ．$ 请直接写出AP与BD相交所成的较小角的度数，并说明 $△ B C D$ 与 $△ A C P$ 相似，求出 $\frac{B D}{A P}$ 的值；

(3)、拓展延伸：当 $α = 90 °$ 时，且点P到点C的距离为 $\frac{1}{3} A C$ ，线段CP绕点P逆时针旋转 $α$ 得到线段DP，若点A，C，P在一条直线上时，求 $\frac{B D}{A P}$ 的值.

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37. 如图①，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在AB边上，过点D作DE⊥AC于点E，取BC边的中点F，连接DF并延长到点G，使FG＝DF，连接CG.（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答.）

(1)、问题发现：
填空：CE与CG的数量关系是，直线CE与CG所夹的锐角的度数为.

(2)、探究证明：
将△ADE绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图②所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；

(3)、问题解决：
若AB＝4，AD＝3，将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），当△ACE是直角三角形时，请直接写出CG的值.

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38. 如图

(1)、观察猜想：如图1，在 $Δ A B C$ 中， $\tan B = 1$ ， $A B = A C = 3$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，以 $C D$ 为一边作正方形 $C D E F$ ，点 $E$ 与点 $A$ 重合，则 $\frac{B E}{A F} =$ .

(2)、类比探究：在（1）的条件下，如果正方形 $C D E F$ 绕点 $C$ 旋转，连接 $B E$ 、 $C E$ 、 $A F$ ，（1）中的结论是否成立？请按图2加以证明.

(3)、问题解决：当正方形 $C D E F$ 旋转到 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 三点共线时，请直接写出线段 $A F$ 的长.

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39. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是射线BC上一动点，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，交直线AC于点P.

(1)、（问题发现）
如图①，若点D在BC的延长线上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系为；

(2)、（类比探究）
如图②，若点D在线段BC上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系，并说明理由；

(3)、（拓展应用）
当E为BP的中点时，直接写出线段CD的长度.

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40. 如图

(1)、问题发现
如图①，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F.

填空：①∠AFB的度数是；

②线段AD，BE之间的数量关系为.

(2)、类比探究
如图②，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F.请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由.

(3)、解决问题
如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B为y轴上任意一点，连接AB，将BA绕点B逆时针旋转90°至BC，连接OC，请直接写出OC的最小值.

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41. 定义：长宽比为 $\sqrt{n}$ ：1（n为正整数）的矩形称为 $\sqrt{n}$ 矩形.
下面，我们通过折叠的方式折出一个 $\sqrt{2}$ 矩形，如图a所示.

操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH.

操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD.则四边形ABCD为 $\sqrt{2}$ 矩形.

(1)、证明：四边形ABCD为 $\sqrt{2}$ 矩形；

(2)、点M是边AB上一动点.
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN.求tan∠OMN的值；

②若AM=AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求 $\frac{C N}{N B}$ 的值；

③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R.若AB=2 $\sqrt{2}$ ，则DR的最小值= .

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