河南省中考数学真题模拟题分类卷4 图形的性质（近几年）

试卷更新日期：2021-08-25 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）

A、四条边相等 B、对角线相等 C、对角线互相垂直 D、是轴对称图形

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2. 如图， $l_{1} / / l_{2} ， l_{3} / / l_{4}$ ，若 $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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3. 如图， $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 75^{°}$ ， $∠ E = 27^{°}$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $45^{°}$ B、 $48^{°}$ C、 $50^{°}$ D、 $58^{°}$

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4. 将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数为（）

A、75° B、65° C、35° D、25°

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5. 如图， $∠ A C E$ 是 $Δ A B C$ 的外角， $∠ A C D = ∠ A$ ， $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、 $130 °$ B、 $120 °$ C、 $110 °$ D、 $100 °$

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6. 如图， $a // b$ ， $∠ 1 = 60 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $110 °$ D、 $120 °$

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = B C = \sqrt{3} ， ∠ B A C = 30 °$ ，分别以点 $A ， C$ 为圆心， $A C$ 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接 $D A ， D C ，$ 则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、9 C、6 D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 90^{°}$ ， $A D = 4$ ， $B C = 3$ .分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、3 D、 $\sqrt{10}$

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9. 如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm²）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、2 $\sqrt{5}$

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10. 将一副三角板按如图所示的位置摆放， $∠ C = ∠ E D F = 90 °$ ， $∠ E = 45 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，边 $D E$ ， $A B$ 交于点 $G$ ．若 $E F / / A B$ ，则 $∠ C D E$ 的度数为（）

A、 $105 °$ B、 $100 °$ C、 $95 °$ D、 $75 ° C$

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11. 如图，在▱ABCD中，AB＝2 $\sqrt{2}$ ，点E为AD的中点，按以下步骤作图：①以点E为圆心，EA长为半径作弧，交AB于点F；②再分别以点A和点F为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AF的长为半径作弧，两弧相交于点M；③作直线EM交AB于点N，连接CE.若∠ADC＝135°，DE＝2，则CE的长为（）

A、2 $\sqrt{5}$ B、4 $\sqrt{5}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 在 $Δ A B C$ 中 $A C = B C = 18$ ， $∠ B = 75 °$ ，分别以点 $A$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 、 $N$ .作直线 $M N$ ，分别交 $A C$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，连接 $A E$ ，则 $Δ A E C$ 的周长为（）

A、 $18 + 6 \sqrt{3}$ B、 $18 + 9 \sqrt{3}$ C、 $18 + 12 \sqrt{3}$ D、 $18 + 6 \sqrt{2}$

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13. 如图， $C D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的中线，将线段 $A D$ 绕点D顺时针旋转 $90 °$ 后，点A的对应点E恰好落在 $A C$ 边上，若 $A D = \sqrt{2} ， B C = \sqrt{5}$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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二、填空题

14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ ，点 $A$ ， $B$ ， $D$ 均在小正方形的顶点上，且点 $B$ ， $C$ 在 $\overset{⌢}{A D}$ 上， $∠ B A C = 22.5 °$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长为.

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15. 如图，在扇形 $B O C$ 中， $∠ B O C = 60 ° ， O D$ 平分 $∠ B O C$ 交狐 $B C$ 于点D.点E为半径 $O B$ 上一动点若 $O B = 2$ ，则阴影部分周长的最小值为.

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16. 如图，在边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是边 $A B ， B C$ 的中点，连接 $E C ， F D ，$ 点 $G ， H$ 分别是 $E C ， F D$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长度为.

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17. 如图，在扇形AOB中， $∠ A O B = 120^{°}$ ，半径OC交弦AB于点D，且 $O C ⊥ O A$ .若 $O A = 2 \sqrt{3}$ ，则阴影部分的面积为.

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18. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为．

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19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为 $\vec{B B^{'}}$ ，则图中阴影部分的面积为．

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20. 如图， $Δ A B C$ 为等边三角形， $A B = 6$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ 上， $C D = A E = 2$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ，点 $F$ ， $G$ 分别是 $B E$ ， $A D$ 的中点，连接 $F G$ ，则线段 $F G$ 的长为．

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21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝.

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22. 如图，在扇形BCD中，∠BCD＝150°，以点B为圆心，BC长为半径画弧交 $\overset{⌢}{B D}$ 于点A，连接AC，若BC＝4，则图中阴影部分的面积为.

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23. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = C B = 6 cm$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A C$ 的中点 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径作半圆.若 $∠ M O N = 90 °$ ， $O M$ 与 $O N$ 分别交半圆于点 $E$ 、 $F$ ，则图中阴影部分的面积是.

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24. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形OCED的顶点C，D分别在半径OA，OB上，顶点E在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，以O为圆心，OC长为半径作 $\overset{⌢}{C D}$ ，若OA＝2，则阴影部分的面积为.

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三、解答题

25. 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱，发明了一种简易操作工具--------三分角器.图1是它的示意图，其中 $A B$ 与半圆O的直径 $B C$ 在同一直线上，且 $A B$ 的长度与半圆的半径相等； $D B$ 与 $A C$ 重直F点 $B ， D B$ 足够长.
使用方法如图2所示，若要把 $∠ M E N$ 三等分，只需适当放置三分角器，使 $D B$ 经过 $∠ M E N$ 的顶点 $E$ ，点 $A$ 落在边 $E M$ 上，半圆O与另一边 $E N$ 恰好相切，切点为F，则 $E B ， E O$ 就把 $∠ M E N$ 三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.

已知：如图2，点在 $A ， B ， O ， C$ 同一直线上， $E B ⊥ A C ，$ 垂足为点B， ▲

求证： ▲

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四、综合题

26. 小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点D是弧 $B C$ 上一动点，线段 $B C = 8 c m ，$ 点A是线段 $B C$ 的中点，过点C作 $C F / / B D$ ，交 $D A$ 的延长线于点F.当 $Δ D C F$ 为等腰三角形时，求线段 $B D$ 的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：

(1)、根据点D在弧 $B C$ 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 $B D ， C D ， F D$ 的长度，得到下表的几组对应值.

操作中发现：

①"当点D为弧 $B C$ 的中点时， $B D = 5.0 c m$ ".则上中a的值是

②"线段 $C F$ 的长度无需测量即可得到".请简要说明理由；

(2)、将线段 $B D$ 的长度作为自变量 $x ， C D$ 和 $F D$ 的长度都是x的函数，分别记为 $y_{C D}$ 和 $y_{F D}$ ，并在平面直角坐标系 $x O y$ 中画出了函数 $y_{F D}$ 的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数 $y_{C D}$ 的图象；

(3)、继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 $Δ D C F$ 为等腰三角形时，线段 $B D$ 长度的近似值.(结果保留一位小数).

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27. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $∠ A B C = 90^{°}$ ，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是 $\overset{⌢}{B D}$ 上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.

(1)、求证： $Δ A D F ≅ Δ B D G$ ；

(2)、填空：
①若 $A B =4$ ，且点E是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，则DF的长为；

②取 $\overset{⌢}{A E}$ 的中点H，当 $∠ E A B$ 的度数为时，四边形OBEH为菱形.

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28. 如图，在 $Δ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ 交 $B C$ 边于点 $D$ ，交 $A C$ 边于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线交 $A C$ 于点 $F$ ， $D F ⊥ A C$ ，连接 $A D$ ， $D E$ ．

(1)、求证： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $∠ C A B = 45^{\circ}$ ．填空：
① $\overset{⌢}{B D}$ 的长为；

② $Δ C D E$ 的面积为．

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29. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.

已知：如图1， $⊙ O$ 及 $⊙ O$ 上一点P.

求作：直线PQ，使得PQ与 $⊙ O$ 相切.

作法：如图2，

①连接PO并延长交 $⊙ O$ 于点A；

②在 $⊙ O$ 上任取一点B（点P，A除外），以点B为圆心，BP长为半径作 $⊙ B$ ，与射线PO的另一个交点为C.

③连接CB并延长交 $⊙ B$ 于点Q.

④作直线PQ；

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图的过程.

(1)、使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明.
证明：∵CQ是的 $⊙ B$ 直径，

∴ $∠ C P Q =$ __▲__ $^{°}$ （__▲__）（填推理的依据）

∴ $O P ⊥ P Q$ .

又∵OP是 $⊙ O$ 的半径，

∴PQ是 $⊙ O$ 的切线（_▲_）（填推理的依据）

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30. 若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角.直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角.（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答.）

(1)、为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程（只证明劣交角即可）.
已知：如图①，直线l与⊙O相交于点A、B，过点B作.

求证：∠ABD＝.

(2)、如图②，直线l与⊙O相交于点A、B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半径.

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31. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P$ 是圆上不与点 $A$ 、 $B$ 重合的动点，连接 $A P$ 并延长 $A P$ 到点 $D$ ，使 $A P = D P$ ，连接 $B D$ ， $C$ 是 $B D$ 的中点，连接 $O P$ 、 $O C$ 、 $P C$ .

(1)、求证： $B A = B D$ .

(2)、填空：
①若 $A B = 16$ ，当 $A P =$ 时，四边形 $A O C P$ 是菱形；

②当 $∠ D P C =$ $°$ 时，四边形 $O B C P$ 是正方形.

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32. 如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠BCA＝90°，∠CBA＝60°，AB＝10，点D是AB边上（异于点A，B）的一动点，DE⊥AB交⊙O于点E，交AC于点G，交切线CF于点F.

(1)、求证：FC＝CG；

(2)、①当AE＝时，四边形BOEC为菱形；
②当AD＝时，OG∥CF.

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33. 下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1，（1）分别在射线 $O A$ ， $O B$ 上截取 $O C = O D$ ， $O E = O F$ （点 $C$ ， $E$ 不重合）；（2）分别作线段 $C E$ ， $D F$ 的垂直平分线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，交点为 $P$ ，垂足分别为点 $G$ ， $H$ ；（3）作射线 $O P$ ，射线 $O P$ 即为 $∠ A O B$ 的平分线.简述理由如下：

由作图， $∠ P G O = ∠ P H O = 90 °$ ， $O G = O H$ ， $O P = O P$ ，所以 $Rt △ P G O ≌ Rt △ P H O$ ，则 $∠ P O G = ∠ P O H$ ，即射线 $O P$ 是 $∠ A O B$ 的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是大麻烦了，可以改进如下，如图2.（1）分别在射线 $O A$ ， $O B$ 上截取 $O C = O D$ ， $O E = O F$ （点 $C$ ， $E$ 不重合）；（2）连接 $D E$ ， $C F$ ，交点为 $P$ ；（3）作射线 $O P$ ，射线 $O P$ 即为 $∠ A O B$ 的平分线.

……

任务：

(1)、小明得出

Rt △ P G O ≌ Rt △ P H O

的依据是.（填序号）

① $S S S$ ；② $S A S$ ；③ $A A S$ ；④ $A S A$ ；⑤ $H L$ .

(2)、小军作图得到的射线

O P

是

∠ A O B

的平分线吗？请判断并说明理由；

(3)、如图3，已知

∠ A O B = 60 °

，点

E

，

F

分别在射线

O A

，

O B

上，且

O E = O F = \sqrt{3} + 1

.点

C

，

D

分别为射线

O A

，

O B

上的动点，且

O C = O D

，连接

D E

，

C F

，交点为

P

，当

∠ C P E = 30 °

时，直接写出线段

O C

的长.

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34. 如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．

(1)、求证：CE=EF；

(2)、连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形．

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