北师版数学九年级上册同步训练《1.3 正方形的性质与判定》

试卷更新日期：2021-08-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列说法正确的是（）

A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C、对角线相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

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2. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C$ ， $B D$ 相交于点O，下列结论错误的是（）

A、 $O A = O C$ ， $O B = O D$ B、当 $A B = C D$ 时，四边形 $A B C D$ 是菱形 C、当 $∠ A B C = 90 °$ 时，四边形 $A B C D$ 是矩形 D、当 $A C = B D$ 且 $A C ⊥ B D$ 时，四边形 $A B C D$ 是正方形

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $△ D B C$ 和 $△ A B C$ 关于直线BC对称，连接AD ，与BC相交于点O ，过点C作 $C E ⊥ C D$ ，垂足为C ，与AD相交于点E ．若 $A D = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $\frac{2 O E + A E}{B D}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线 $B D ⊥ A D$ ， $A B = 10$ ， $A D = 6$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点，E为边 $A B$ 上一点，直线 $E O$ 交 $C D$ 于点F，连结 $D E$ ， $B F$ ．下列结论不成立的是（）

A、四边形 $D E B F$ 为平行四边形 B、若 $A E = 3.6$ ，则四边形 $D E B F$ 为矩形 C、若 $A E = 5$ ，则四边形 $D E B F$ 为菱形 D、若 $A E = 4.8$ ，则四边形 $D E B F$ 为正方形

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5. 如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作 $D F ⊥ D E$ 交BC的延长线于点F，连结 $E F .$ 若 $A E = 1$ ，则EF的值为 $($ $)$

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6. 如图，点E在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 到 $△ A B F$ 的位置，连接 $E F$ ，过点A作 $E F$ 的垂线，垂足为点H，与 $B C$ 交于点G.若 $B G = 3$ ， $C G = 2$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点E在 $A B$ 上且 $B E = 1$ ，F为对角线 $A C$ 上一动点，则 $△ B F E$ 周长的最小值为（）.

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变，如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′，若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF ， EF ， GE ，则四边形AGEF的面积为（）

A、2 $\sqrt{10}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、6 D、5

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10. 如图，将正方形 $O E F G$ 放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点 $E (2 ， 3)$ ，则点F的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 5)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(5 ， - 1)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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二、填空题

11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使矩形 $A B C D$ 是正方形．

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12. 如图1，已知四边形ABCD是正方形，将 $△ D A E$ ， $△ D C F$ 分别沿DE ， DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．

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13. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，点E是边 $A B$ 的中点，点P是对角线 $B D$ 上的动点，则 $A P + P E$ 的最小值是.

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14. 如图，在边长为6的正方形 $A B C D$ 内作 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点F，连接 $E F$ ，将 $Δ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ ，若 $D F = 3$ ，则 $B E$ 的长为.

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15. 如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为 $2 \sqrt{3} ， \sqrt{2} ， 4$ 则正方形ABCD的面积为

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16. 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE ， EF ， AF ．若 $D E = D C$ ， $E F = E C$ ，则 $∠ B A F$ 的度数为．

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三、解答题

17. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， $∠ A E F = 90 °$ ，且 $E F = A E$ ， $F H ⊥ B H$ .

(1)、求证： $B E = C H$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B E = x$ ，用x表示DF的长.

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18. 如图，正方形 $A B C D$ ，G是 $B C$ 边上任意一点（不与B、C重合）， $D E ⊥ A G$ 于点E， $B F // D E$ ，且交 $A G$ 于点F．

(1)、求证： $A F - B F = E F$ ；

(2)、四边形 $B F D E$ 是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．

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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 的外侧，作等边角形 $A D E$ ，连接 $B E$ 、 $C E$ ．

(1)、求证： $△ B A E ≌ △ C D E$ ；

(2)、求 $∠ A E B$ 的度数．

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20. 如图，点M， $N$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $∠ M A N = 45 °$ ，把 $△ A D N$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B E$ .

(1)、求证： $△ A E M$ ≌ $△ A N M$ .

(2)、若 $B M = 3$ ， $D N = 2$ ，求正方形 $A B C D$ 的边长.

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21. 如图，点 $E$ ， $F$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ ， $B C$ 上，且 $D E = C F$ ，点 $P$ 在射线 $B C$ 上（点 $P$ 不与点 $F$ 重合）.将线段 $E P$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $E G$ ，过点 $E$ 作 $G D$ 的垂线 $Q H$ ，垂足为点 $H$ ，交射线 $B C$ 于点 $Q$ .

(1)、如图1，若点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $P$ 在线段 $B F$ 上，线段 $B P$ ， $Q C$ ， $E C$ 的数量关系为.

(2)、如图2，若点 $E$ 不是 $C D$ 的中点，点 $P$ 在线段 $B F$ 上，判断（1）中的结论是否仍然成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(3)、正方形 $A B C D$ 的边长为6， $A B = 3 D E$ ， $Q C = 1$ ，请直接写出线段 $B P$ 的长.

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22. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)、概念理解：如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ，问四边形 $A B C D$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

(2)、性质探究：如图1，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C ⊥ B D$ .试证明： $A B^{2} + C D^{2} = A D^{2} + B C^{2}$ ；

(3)、解决问题：如图3，分别以 $R t △ A C B$ 的直角边 $A C$ 和斜边 $A B$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $A B D E$ ，连结 $C E$ 、 $B G$ 、 $G E$ .已知 $A C = 4$ ， $A B = 5$ ，求 $G E$ 的长.

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