四川省资阳市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：中考真卷

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一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）

1. 下列计算正确的是（）

A、a²+a²＝2a⁴ B、a²⋅a＝a³ C、（3a）²＝6a² D、a⁶+a²＝a³

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2. 如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2=30°，则∠3的度数为（）

A、80° B、70° C、60° D、50°

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4. 15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩（）

A、平均数 B、众数 C、方差 D、中位数

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5. 若a＝ $\sqrt[3]{7}$ ，b＝ $\sqrt{5}$ ，c＝2，则a、b、c的大小关系为（）

A、b＜c＜a B、b＜a＜c C、a＜c＜b D、a＜b＜c

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6. 下列命题正确的是（）

A、每个内角都相等的多边形是正多边形 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形 C、过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D、三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分

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7. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD.连结EG并延长交BC于点M.若AB＝ $\sqrt{13}$ ，EF=1，则GM的长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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8. 一对变量满足如图的函数关系.设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家.设所用时间为x分钟；②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水.设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，△ABP的面积为y.其中，符合图中函数关系的情境个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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9. 已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）²+2于P（x₁ ， y₁）、Q（x₂ ， y₂）两点.若x₁＜m≤x₂ ，则a的取值范围为（）

A、﹣4≤a＜﹣ $\frac{3}{2}$ B、﹣4≤a≤﹣ $\frac{3}{2}$ C、﹣ $\frac{3}{2}$ ≤a＜0 D、﹣ $\frac{3}{2}$ ＜a＜0

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二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

10. 中国共产党自1921年诞生以来，仅用了100年时间，党员人数从建党之初的50余名发展到如今约92000000名.

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11. 将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起.若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为 .

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12. 若x²+x﹣1＝0，则3x﹣ $\frac{3}{x}$ ＝.

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13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD= $\sqrt{3}$ cm以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影部分的面积为 cm².

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14. 将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星.若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 .

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15. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，交CD于点G.FH⊥CD于点H，连结CF.有下列结论：①AF＝CF²＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝ $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ .

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三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）

16. 先化简，再求值：（ $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ ﹣ $\frac{1}{x - 1}$ ）÷ $\frac{x^{2}}{x - 1}$ ，其中x﹣3＝0.

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17. 目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作.某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图.

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；

(2)、若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率.

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18. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.

(1)、求甲、乙两种奖品的单价；

(2)、根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 $\frac{1}{2}$ ，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用。

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19. 如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝ $\frac{6}{x}$ 相较于A（m，3）、B（3，n）两点.

(1)、求直线AB的解析式；

(2)、连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积.

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20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F.

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、若AC＝6，tanE＝ $\frac{3}{4}$ ，求AF的长.

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21. 资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个.如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈ $\frac{4}{5}$ ，cos53°≈ $\frac{3}{5}$ ，tan53°≈ $\frac{4}{3}$ ）

(1)、求D处的竖直高度；

(2)、求基站塔AB的高.

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22. 已知，在△ABC中，∠BAC＝90°

(1)、如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，连结CE.试探究BD与CE的关系；

(2)、如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，连结CE.若BD⊥AD，AB＝2 $\sqrt{10}$ ，AD交BC于点F，求AF的长；

(3)、如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD.若∠CBD＝30°，AB²＝6，AD²＝4+ $\sqrt{3}$ ，求sin∠BCD的值.

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23. 抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，求点P的坐标；

(3)、如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN.当 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D'N+CN的值最小时

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