湖南省益阳市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：中考真卷

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一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。）

1. ﹣2021的相反数等于（）

A、2021 B、﹣2021 C、 $\frac{1}{2021}$ D、﹣ $\frac{1}{2021}$

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2. 已知a≠0，下列运算正确的是（）

A、3a﹣2a＝1 B、3a•2a＝6a C、a³÷a²＝a D、（2a）³＝6a³

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3. 将 $\sqrt{\frac{45}{2}}$ 化为最简二次根式，其结果是（）

A、 $\sqrt{\frac{45}{2}}$ B、 $\frac{\sqrt{90}}{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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4. 解方程组 ${\begin{matrix} 2 x + y = 3 ① \\ 2 x - 3 y = 4 ② \end{matrix}$ 时，若将①﹣②可得（）

A、﹣2y＝﹣1 B、﹣2y＝1 C、4y＝1 D、4y＝﹣1

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5. 正比例函数y＝2x与反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象或性质的共有特征之一是（）

A、函数值y随x的增大而增大 B、图象在第一、三象限都有分布 C、图象与坐标轴有交点 D、图象经过点（2，1）

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6. 以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（）

A、40° B、30° C、20° D、15°

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8. 如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（）

A、AN＝NC B、AN＝BN C、MN＝ $\frac{1}{2}$ BC D、BN平分∠ABC

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9. 小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为（）

A、140元 B、160元 C、176元 D、182元

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10. 如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.）

11. 若实数a的立方等于27，则a＝.

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12. 一元二次方程x²﹣3x＝0的解是 .

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13. 已知x满足不等式组 ${\begin{matrix} x > - 1 \\ x - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，写出一个符合条件的x的值 .

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14. 小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是 .

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15. 已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：

x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	11	a	3	2	3	6	11	…

由此判断，表中a＝.

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16. 如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝度.

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17. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）.

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18. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝ $\frac{3}{2}$ ，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 .

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三、解答题（本题共8个小题，共78分）

19. 先化简，再求值： $(1 + \frac{3}{a}) \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 9}$ ，其中a＝2.

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20. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长.

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21. 如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上.

(1)、求点A的坐标；

(2)、确定该反比例函数的表达式.

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22. 为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园.为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项），绘制成待完善的统计图表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）.

(1)、本次被调查的居民人数是多少？

(2)、补全条形统计图；

(3)、若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数.

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23. “2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）.
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

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24. 为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）﹣常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的 $\frac{13}{30}$ .

(1)、求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？

(2)、甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？

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25. 如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G.

(1)、判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；

(2)、求证：①BD＝CF；
②BD²＝DE²+AE•EG.

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26. 已知函数y＝ ${\begin{matrix} - x (x \leq 0) \\ x^{2} (x > 0) \end{matrix}$ 的图象如图所示，点A（x₁ ， y₁）在第一象限内的函数图象上.

(1)、若点B（x₂ ， y₂）也在上述函数图象上，满足x₂＜x₁.
①当y₂＝y₁＝4时，求x₁ ， x₂的值；

②若|x₂|＝|x₁|，设w＝y₁﹣y₂ ，求w的最小值；

(2)、过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

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