河南省驻马店市天宏大联考2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{3}{4}$ 的绝对值是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 下列立体图形中，其左视图与另外三个立体图形的左视图不可能相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列说法正确的是（）

A、“在足球赛中，弱队战胜强队”是不可能事件 B、疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查 C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5 D、数据201，202，198，199，200的方差是0.2

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4. 一把直尺和一个直角三角板（含 $30 °$ 角的直角三角形板）按如图所示放置，若 $∠ 1 = 15 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $50 °$ C、 $45 °$ D、 $40 °$

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5. 下列计算：① $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ ；② ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；③ ${(- 2 a^{2} b c)}^{3} = - 8 a^{6} b^{3} c^{3}$ ；④ $3 x^{2} y^{4} \div (- x y^{2})$ $= - 3 x y^{2}$ ，其中计算正确的共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的 $a$ 元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩.设原计划购买口罩 $x$ 包，则依题意列方程为（）

A、 $\frac{a}{x} + 2 = \frac{a}{x + 5}$ B、 $\frac{a}{x + 5} + 2 = \frac{a}{x}$ C、 $\frac{a}{x + 2} + 5 = \frac{a}{x}$ D、 $\frac{a}{x + 2} = \frac{a}{x} + 5$

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7. 对于函数 $y = {(x \oplus 1)}^{n}$ ，规定 ${(x \oplus 1)}^{n} = n x^{n - 1} + (n - 1) x^{n - 2} + (n - 2) x^{n - 3} + \dots 2 x + 1$ ，例如，若 $y = {(x \oplus 1)}^{6}$ ，则有 ${(x \oplus 1)}^{6} = 6 x^{5} + 5 x^{4}$ $+ 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1$ .已知函数 $y = {(x \oplus 1)}^{3}$ ，那么方程 ${(x \oplus 1)}^{3} = 6$ 的解的情况是（）

A、有一个实数根 B、没有实数根 C、有两个不相等的实数根 D、有两个相等的实数根

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8. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $C (0 ， 4)$ 、 $D (4 ， 0)$ ，等腰直角三角板 $A B O$ 的斜边 $O A = 4$ ，且OA在 $x$ 轴上，顶点 $B$ 在第二象限.将三角板沿 $x$ 轴向右平移，当顶点 $B$ 落在直线 $C D$ 上时，点A关于直线 $C D$ 的对称点的坐标为（）

A、 $(4 ， 4)$ B、 $(2 ， 2)$ C、 $(4 ， 5)$ D、 $(5 ， 4)$

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9. 如图，一次函数 $y = \frac{4}{3} x + 4$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $A$ 、 $B$ ，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上.若 $△ A B C$ 是等腰直角三角形，则下列 $k$ 的值错误的是（）

A、-28 B、-21 C、-14 D、 $- \frac{49}{4}$

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10. 如图，已知点 $C$ ， $D$ 是以 $A B$ 为直径的半圆的三等分点， $\overset{⌢}{C D}$ 的长为 $\frac{2 π}{3}$ ，连结 $O C$ 、 $A D$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

11. 写出一个小于 $- \sqrt{2}$ 而大于 $- \sqrt{3}$ 的有理数：.

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 1 - x \geq 0 \\ \frac{x}{2} - 1 < x \end{array}$ 的最小整数解为.

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13. 五一期间，某旅游公司开展团队旅游有奖活动，凡组团报名满二十人的团队有一次抽奖机会.抽奖设置如图所示，左转盘被等分成四个扇形区，各扇形区分别标有数字8、6、2、1；右转盘被等分成三个扇形区，各扇形区分别标有数字4、5、7.抽奖时左右转盘各转动一次，将箭头停留在扇形区内的两个数字相加求出和.奖品设置：和不大于8的获得矿泉水20瓶；和为9或10或11的获得遮阳伞20把；和为12或13的获得太阳镜20付；和为15的获得免旅游费2000元.某团队获得免旅游费2000元的概率为.

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，延长 $D B$ 到点 $E$ ，使 $B E = B D$ ，连接 $A E$ ，分别取 $A E$ 、 $O C$ 的中点 $F$ 、 $G$ ，连结 $F G$ ，若 $A C = 8$ ， $B D = 4$ ，则线段 $F G$ 的长为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $P$ 为边 $B C$ 上的一个动点（不与端点 $B$ 、 $C$ 重合），点 $D$ 与点 $P$ 关于直线 $A B$ 对称，点 $E$ 与点 $P$ 关于直线 $A C$ 对称， $D E$ 与边 $A B$ 、 $A C$ 分别相交于点 $Q$ 、 $R$ .当 $△ P Q R$ 的周长最小时， $△ A D E$ 的周长是.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2 a + 1} \div (2 - \frac{a^{2} - 2 a + 6}{a + 1})$ ，已知 $3 a^{2} - a - 2 = 0$ .

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17. 为了解某校七年级学生身高情况，随机抽取该校若干名学生测量他们的身高（单位：

cm

），并绘制了如下两幅不完整的统计图表.

学生身高的频数分布表

组别	身高（单位： $cm$ ）	频数
$A$	$x < 155$	15
$B$	$155 \leq x < 160$
$C$	$160 \leq x < 165$	35
$D$	$165 \leq x < 170$	15
$E$	$x \geq 170$	5

请结合图表中提供的信息，解答下列问题：

(1)、填空：样本容量为，

a =

，样本中位数所在组别为.

(2)、学生身高扇形统计图中，

C

组的扇形的圆心角度数为.

(3)、已知该校七年级共有学生1500人，请估计身高不低于

165 cm

的学生约有多少人？

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18. 如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $A B = 2$ ，点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一个动点（不与点 $A$ 、 $B$ 重合），切线 $D C$ 交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ，连结 $A C$ 、 $B C$ 、 $O C$ .

(1)、请添加一个条件使 $△ B A C ≅ △ O D C$ ，并说明理由.

(2)、若点 $C$ 关于直线 $A B$ 的对称点为 $E$ .
①当 $∠ C D B =$ 度时，四边形 $A C D E$ 为菱形；

②当 $A D =$ 时，四边形 $O C D E$ 为正方形.

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19. 2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级.红星塑料有限公司经过市场研究购进一批 $A$ 型可降解聚乳酸吸管和一批 $B$ 型可降解纸吸管生产设备.已知购买5台 $A$ 型设备和3台 $B$ 型设备共需130万元，购买1台 $A$ 型设备的费用恰好可购买2台 $B$ 型设备.

(1)、求两种设备的价格；

(2)、市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如 $y_{1}$ 所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如 $y_{2}$ 所示）.
① $y_{1}$ 的解析式为；

$y_{2}$ 的解析式为.

②当销售量（ $x$ ）满足条件时，该公司盈利（即收入大于成本）.

(3)、由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中 $A$ 型设备每天生产量为1.2吨， $B$ 型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出.为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出 $A$ 型设备至少需要购进多少台？

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20. 九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度.小明与小东分别采用不同的方案测量，以下是他们研究报告的部分记录内容：

课题	测量旗杆的高度
测量工具	测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位： $m$ ）的皮尺等
测量成员	小明	小东
测量方案示意图
示意图说明	如图，旗杆的最高点 $D$ 到地面的高度为 $D N$ ，在测点 $A$ 、 $B$ 用仪器测得点 $A$ 、 $B$ 处的仰角分别为 $α$ 、 $β$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $N$ 均在同一竖直平面内，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一条直线上.
测量数据	$A M = 1.50 m$ ， $A B = 13.12 m$ ， $∠ α = 37 °$ ， $∠ β = 60 °$ .	$A M = 1.50 m$ ， $A B = 33.22 m$ ， $∠ α = 37 °$ ， $∠ β = 60 °$ .
参考数据	$\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\tan 60 ° \approx 1.73$

(1)、请选择其中一个方案，根据其数据求出旗杆的高度（精确到

0.1 m

）.

(2)、在制定方案时，小芳同学曾提出方案“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）

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21. 如图所示，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 3$ ，抛物线与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连结 $B C$ ，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点 $P$ ，使 $△ P B C$ 的面积最大？最大面积是多少？

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22. 如图

如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 cm$ ， $B C = 4 cm$ ，圆弧 $\overset{⌢}{A E}$ 过点 $A$ 和 $A D$ 延长线上的点 $E$ ，圆心 $R$ 在 $C D$ 上， $\overset{⌢}{A E}$ 上有一个动点 $P$ ， $P Q ⊥ A C$ ，交直线 $A C$ 于点 $Q$ .线段 $A P$ 的长 $x cm$ 与 $P Q$ 的长 $y_{P Q} cm$ 以及 $R Q$ 的长 $y_{R Q} cm$ 之间的几组对应值如下表所示.

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$y_{P Q}$	0	1	2	2.9	3.9	4.7	5.3	5.5	4.8
$y_{R Q}$	4.3	4.4	4.3	4.1	3.5	2.7	1.7	1.2	2.6

(1)、将线段

A P

的长度

x

作为自变量，在平面直角坐标系

x O y

中画出了函数

y_{P Q}

的图象，如图2所示.请在同一坐标系中画出函数

y_{R Q}

的图象.

(2)、结合函数图象填空：（结果精确到0.1）

线段 $P Q$ 的长度的最大值约为；

线段 $R Q$ 的长度的最小值约为；

圆弧 $\overset{⌢}{A E}$ 所在圆的半径约等于；

连结 $P C$ ， $△ P A C$ 面积的最大值约为.

(3)、继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当以点

P

、

Q

、

R

为顶点构成的三角形为等腰三角形时，线段

A P

的长度的近似值.（结果精确到0.1）

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，把射线 $B C$ 绕点 $B$ 旋转得到射线 $B M$ ，设旋转角为 $α (0 ° < α \leq 360 °)$ ，作点 $C$ 关于直线 $B M$ 的对称点 $D$ ，射线 $A D$ 交射线 $B M$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ 、 $C D$ 、 $C E$ ， $C D$ 交 $B M$ 于点 $F$ .

(1)、如图1，当 $α = 30 °$ 时， $△ C D E$ 的形状是， $\frac{B F}{A E}$ 的值为.

(2)、当 $0 ° < α \leq 360 °$ 时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请就图2或图3的情形进行证明；如果不成立，请说明理由.

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