江苏省海安市2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 ${(- x)}^{2} \cdot x^{3}$ 的结果是（）

A、 $x^{5}$ B、 $- x^{5}$ C、 $x^{6}$ D、 $- x^{6}$

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2. 至2021年5月，全国人口共为141178万人，将141178万用科学记数法表示为（）

A、 $1.41178 \times 10^{8}$ B、 $0.141178 \times 10^{9}$ C、 $14.1178 \times 10^{8}$ D、 $1.41178 \times 10^{9}$

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3. 如图，左图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为（）

A、 $10 π$ B、 $12 π$ C、 $15 π$ D、 $7.5 π$

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5. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）

A、45 B、60 C、72 D、144

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6. 函数y= $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{x - 1}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、x $\leq \frac{1}{2}$ 且x≠1 B、x $\geq \frac{1}{2}$ 且x≠1 C、x $> \frac{1}{2}$ 且x≠1 D、x $< \frac{1}{2}$ 且x≠1

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7. 已知 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (3 ， y_{2})$ 两点在双曲线 $y = \frac{3 + 2 m}{x}$ 上，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 0$ B、 $m > 0$ C、 $m > - \frac{3}{2}$ D、 $m < - \frac{3}{2}$

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8. 如图，两个反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x}$ （其中 $k_{1} > k_{2} > 0$ ）在第一象限内的图象依次是 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ ，设点P在 $C_{1}$ 上， $P C ⊥ x$ 轴于点C，交 $C_{2}$ 于点 $A$ ， $P D ⊥ y$ 轴于点D，交 $C_{2}$ 于点B，则四边形 $P A O B$ 的面积为（）

A、 $k_{1} + k_{2}$ B、 $k_{1} - k_{2}$ C、 $k_{1} \cdot k_{2}$ D、 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$

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9. 如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B = 30 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 2$ ， $P$ 为边 $C D$ 上的一动点，则 $P B + \frac{1}{2} P D$ 的最小值等于（）

A、2 B、4 C、3 D、5

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10. 我们记函数 $y$ 的最大值为 $y_{\max}$ ，函数的最小值为 $y_{\min}$ ，已知函数 $y = - 3 x + 2 (a \leq x \leq b ， a \neq b)$ 的 $y_{\max} = b$ ，且 $y_{\min} \leq 3 a$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < \frac{1}{2}$ B、 $a \leq \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2} < a \leq \frac{2}{3}$ D、 $a < \frac{2}{3}$

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二、填空题

11. 已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是．

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12. 如图，若直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝60°，则∠BOD等于度.

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13. 分解因式： $a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} =$ ．

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14. 设 $α$ ， $β$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 7 = 0$ 的两个根，则 $α^{2} + 5 α + 2 β =$ .

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15. 众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为．

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16. 已知关于x的方程 $\frac{2 x + a}{x - 1}$ －1＝0的解是正数，则a的取值范围是．

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17. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $B C = 6$ ， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $∠ C A D = ∠ B = 45 °$ ，则 $B D =$

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $E$ 在边 $B C$ 上运动， $M$ 、 $N$ 在对角线 $B D$ 上运动，且 $M N = \sqrt{5}$ ，连接 $C M$ 、 $E N$ ，则 $C M + E N$ 的最小值为.

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三、解答题

19.

(1)、计算： $\sqrt{12} - {(4 - π)}^{0} + \cos 60 ° - | \sqrt{3} - 3 |$

(2)、先化简，再求值： $(m + \frac{4 m + 4}{m}) \div \frac{m + 2}{m^{2}}$ ，其中 $m = \sqrt{2} - 2$

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20. 如图， $A D$ 与 $B C$ 交于 $O$ 点， $∠ A = ∠ C$ ， $A O = 4$ ， $C O = 2$ ， $C D = 3$ ，求 $A B$ 的长.

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21. 完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，﹣1，2，﹣2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，在从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）.把第一次，第二次摸到的球上标有的数字分别记作m，n，以m，n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率.（用树状图或列表法求解）

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22. 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．

(1)、求证：△BEF≌△CDF；

(2)、连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = \frac{1}{2} x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的一个交点是 $A (2 ， a)$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、设点 $P (m ， n)$ 是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上不同于 $A$ 的一点，直线 $P A$ 与 $x$ 轴交于点 $B (b ， 0)$ .
①若 $m = 1$ ，求 $b$ 的值；

②若 $P B = 2 A B$ ，结合图象，直接写出 $b$ 的值.

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24. （问题情境）

已知矩形的面积为 $a$ （ $a$ 为常数， $a > 0$ ），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

（数学模型）

设该矩形的长为 $x$ ，周长为 $y$ ，则 $y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y = 2 (x + \frac{a}{x}) (x > 0)$ .

（探索研究）

小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象性质.

(1)、结合问题情境，函数

y = x + \frac{1}{x}

的自变量

x

的取值范围是

x > 0

，

下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值.

$x$	$\cdot \cdot \cdot$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	$m$	$\cdot \cdot \cdot$
$y$	$\cdot \cdot \cdot$	$4 \frac{1}{4}$	$3 \frac{1}{3}$	$2 \frac{1}{2}$	2	$2 \frac{1}{2}$	$3 \frac{1}{3}$	$4 \frac{1}{4}$	$\cdot \cdot \cdot$

① $m =$ ▲ ；

②画出该函数图象，结合图象，得出当 $x =$ ▲ 时， $y$ 有最小值， $y_{最小} =$ ▲ ；

(2)、（解决问题）直接写出“问题情境”中问题的结论.

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25. 已知抛物线 $y = x^{2} - (2 m - 2) x + m^{2} - 2 m$ （其中 $m$ 为常数）

(1)、求证：不论 $m$ 为何值，该抛物线与 $x$ 轴一定有两个公共点；

(2)、若 $(2 m ， y_{1})$ ， $(2 m + 1 ， y_{2})$ 两点在抛物线上，试比较 $y_{1} - y_{2}$ 与0的大小；

(3)、若该抛物线在 $- 4 \leq x \leq 1$ 的部分与直线 $y = - 2 m x + m^{2} + 1$ 有两个公共点，试求出 $m$ 的取值范围.

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26. 给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形.

(1)、证明：如图1， $M N$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $A M$ ， $C N$ 相交于点 $D$ .求证：四边形 $A B C D$ 是对余四边形；

(2)、探究：如图2，在对余四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $B D$ 、 $A C$ 为对角线， $B D = \sqrt{2} B C$ ，试探究线 $A D$ 、 $A C$ 和 $C D$ 之间的数量关系，并说明理由.

(3)、拓展：已知，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ A = 90 °$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 外一点，且四边形 $A B C D$ 为对余四边形，试求出对角线 $B D$ 的最大值.

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