山西省太原市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设 $A =$ “第一枚正面朝上”， $B =$ “第二枚反面朝上”，则事件 $A$ 与事件 $B$ （）

A、相互独立 B、互为对立事件 C、互斥 D、相等

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2. 将一个容量为 $n$ 的样本分成2组，已知第一组频数为8，第二组的频率为0.80，则 $n$ 为（）

A、20 B、40 C、60 D、80

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3. 某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（）

A、正面朝上的概率为0.7 B、正面朝上的频率为0.7 C、正面朝上的概率为7 D、正面朝上的概率接近于0.7

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4. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，垂足为 $O$ ，且 $P A = P B = P C$ ，则点 $O$ 一定是 $△ A B C$ 的（）

A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心

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5. 某学校为了调在学生的学习情况，从每班随机抽取5名学生进行调查.若一班有45名学生，将每一学生从01到45编号，请利用下面的随机数表选取5个编号，选取方法是从随机数表的第2行的第7､8列开始由左向右依次选取两个数字(作为编号)，如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，直到取足样本，则第四个编号为（）
附随机数表(下表为随机数表的前3行)：

03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95

97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73

16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10

A、32 B、37 C、42 D、27

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6. 我国古代数学名著《九章算术》中有“堑堵”一说“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示的“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $M$ ， $N$ 分别为棱 $B B_{1}$ ， $A C$ 的中点，则直线 $A M$ 与 $C_{1} N$ 的位置关系为（）

A、平行 B、相交 C、异面 D、无法判断

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7. 已知一组数据为1，2，4，5，6，7，8，8，9，9，则第40百分位数是（）

A、4 B、4.5 C、5 D、5.5

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8. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ . $B C = 1$ .则直线 $A A_{1}$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 现采用随机模拟的方法估计某篮球运动员投篮3次至少投中2次的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有投中，2，3，4，5，6，7，8，9表示投中；因为投篮3次，故以每3个随机数为一组.代表投篮3次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：
$\begin{array}{l} 527 & 029 & 714 & 985 & 034 & 437 & 868 & 964 & 141 & 469 \\ 031 & 623 & 261 & 804 & 601 & 366 & 958 & 742 & 671 & 428 \end{array}$

据此估计，该篮球运动员投篮3次至少投中2次的概率为（）

A、0.75 B、0.8 C、0.85 D、0.9

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10. 在正四面体 $A - B C D$ 的棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线成 $60 °$ 角的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则估计该组数据的平均数为（）

A、64 B、65 C、66 D、67

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12. 对于两个不同的平面 $α$ ， $β$ 和三条不同的直线 $a$ ， $b$ ， $c$ .有以下几个命题：
①若 $a // b$ ， $b // c$ ，则 $a / / c$ ；

②若 $a // α$ ， $b // α$ ，则 $a // b$ ；

③若 $a // b$ ， $b // α$ ，则 $a // α$ ；

④若 $a // α$ ， $a // β$ ，则 $α // β$ ；

⑤若 $a // α$ ， $α // β$ ，则 $a // β$ .

则其中所有错误的命题是（）

A、③④⑤ B、②④⑤ C、②③④ D、②③④⑤

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二、填空题

13. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为．

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14. 甲､乙两名同学同时做某道压轴选择题，两人做对此题的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，假设两人是否能做对此题相互独立.则至少有一人能做对该题的概率为.

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15. 正四面体相邻两个面所成二面角的余弦值为.

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16. 从1，2，3，4四个数字中，随机地选取两个数字，若数字的选取是不放回的，则两个数字的和为偶数的概率为；若数字的选取是有放回的，则两个数字的和为偶数的概率为.

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三、解答题

17. 从甲､乙两人中选选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：
甲 $7 8 6 8 6 5 9 10 7 4$

乙 $9 5 7 8 7 6 8 6 7 7$

(1)、分别计算甲､乙两人射击命中环数的平均数：

(2)、经计算可得甲､乙两人射击命中环数的标准差分别为1.73和1.10，从计算结果看，选派谁去参赛更好？请说明理由.

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18. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均相等.

(1)、在图中作出过 $A_{1} C$ 与侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 垂直的三棱柱的截面，并说明理由；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的余弦值.

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19. 从某校高一年级学生中随机抽取了50名学生，将他们的数学检测成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)按 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ，…， $[90 ， 100]$ 分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、若该校高一年级共有学生600名，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数；

(2)、估计高一年级数学成绩的80%分位数.

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20. 投掷一颗质地均匀的骰子2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 $a$ ，第二次出现的点数为 $b$ .

(1)、写出试验的样本空间；

(2)、求满足 $2 a + b = 10$ 的概率.

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21. 投掷一颗质地均匀的骰子2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为\[a，第二次出现的点数为b.

(1)、写出试验的样本空间；

(2)、若向量 $\vec{m} = (a ， b)$ ， $\vec{n} = (2 ， 1)$ .求 $\vec{m} \cdot \vec{n} \geq 10$ 的概率.

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22. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ，

(1)、若 $C D ⊥ P B$ ， $A B ⊥ B C$ .求证： $C D ⊥ P A$ ；

(2)、若 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在棱 $P B$ ， $A C$ ， $P A$ 上，且 $A E = E C$ ， $P D = 2 D B$ ， $P F = 3 A F$ .求证： $C D //$ 平面 $B E F$ .

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23. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ，

(1)、若 $C D ⊥ P B$ ， $A B ⊥ B C$ .求证： $C D ⊥ P A$ ；

(2)、若 $E$ ， $F$ 分别在棱 $A C$ ， $P A$ 上，且 $A E = E C$ ， $P F = 3 A F$ ，问在棱 $P B$ 上是否存在一点 $D$ ，使得 $C D //$ 平面 $B E F$ .若存在，则求出 $\frac{P D}{D B}$ 的值；若不存在.请说明理由.

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