辽宁省抚顺市重点高中2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 2 - i$ ，则 $z \cdot \overline{z}$ 的值为（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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2. 在 $R t △ A B C$ 中， $C = 90 ° ， A C = 4$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C A} =$ （）

A、-25 B、25 C、-16 D、16

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3. 已知在 $△ A B C$ 中，若 $b^{2} = a c ， A = 30 °$ ，则 $\frac{b \sin B}{c}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $a^{2} + c^{2} = b^{2} + \sqrt{3} a c$ ，则角 $B$ 等于（）

A、 $120 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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5. 如果向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，那么 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角大小为（）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $75 °$ D、 $135 °$

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6. 要得到函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，只需将函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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7. 已知一平面截一球得到直径为 $2 \sqrt{3} cm$ 的圆面，球心到这个面的距离是 $\sqrt{6} cm$ ，则该球的体积为（） ${cm}^{3}$

A、 $12 π$ B、 $36 π$ C、 $64 \sqrt{6} π$ D、 $108 π$

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8. 函数 $f (x) = x \cos 2 x$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上的零点个数为

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、多选题

9. 下面是关于复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z$ 对应的点在第一象限 C、 $z$ 的虚部为 $i$ D、 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$

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10. 下列化简正确的是（）

A、 $\tan (π + 1) = \tan 1$ B、 $\frac{\sin (- α)}{\tan (360^{\circ} - α)} = \cos α$ C、 $\frac{\sin (π - α)}{\cos (π + α)} = \tan α$ D、 $\frac{\cos (π - α) \tan (- π - α)}{\sin (2 π - α)} = 1$

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11. 在 $△ A B C$ 中，已知 $(a + b) ： (c + a) ： (b + c) = 6 ： 5 ： 4$ ，给出下列结论中正确结论是（）

A、由已知条件，这个三角形被唯一确定 B、 $△ A B C$ 一定是钝三角形 C、 $\sin A ： \sin B ： \sin C = 7 ： 5 ： 3$ D、若 $b + c = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$

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12. 将函数 $f (x) = \sin 3 x - \sqrt{3} \cos 3 x + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，给出下列关于 $g (x)$ 的结论，其中正确的是（）

A、它的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{9}$ 对称； B、它的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ； C、它的图象关于点 $(\frac{11 π}{18} ， 1)$ 对称； D、它在 $[\frac{5 π}{3} ， \frac{19 π}{9}]$ 上单调递增.

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三、填空题

13. 已知复数 $z = \frac{7 + a i}{1 - i}$ 的实部为3，则的虚部为

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14. 已知两个向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ ，且 $| \vec{a} | = 1 ， | 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{8}$ ，则 $| \vec{b} | =$

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15. $\cos 1 ， \cos 2 ， \cos 3$ 的大小关系

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16. 已知 $f (x) = \sqrt{1 + x}$ ，则化简 $f (\sin 6) + f (\sin (- 6))$ 的结果为

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四、解答题

17. 已知复数 $z = \frac{{(1 - i)}^{2} + 3 (1 + i)}{2 - i}$ ．

(1)、求复数z ．

(2)、若 $z^{2} + a z + b = 1 - i$ ，求实数 $a ， b$ 的值．

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18. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 \cos θ ， \sin θ) ， \overset{⇀}{b} = (1 ， - 2)$ .

(1)、若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，求 $\frac{3 \sin θ - 2 \cos θ}{2 \sin θ + \cos θ}$ 的值；

(2)、若 $θ = 45^{\circ} ， 2 \overset{⇀}{a} - t \overset{⇀}{b}$ 与 $\sqrt{2} \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 垂直，求实数 $t$ 的值.

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19. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $2 c = a + 2 b \cos A$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{13}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $P D //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、若 $A B = 2 ， P D = \sqrt{2} A B$ ，求三棱锥 $E - P A D$ 的体积.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值及相应的 $x$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间.

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