江苏省盐城市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列函数中，在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = | x |$ D、 $y = 2^{- x}$

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2. A，B是任意角，“A=B”是“sinA=sinB”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了3人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知复数 $z = \frac{6 - 6 i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、6 B、 $6 \sqrt{2}$ C、12 D、 $3 \sqrt{2}$

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5. 为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在A乡镇的2个脱贫村与B乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 为了得到函数 $y = \sin 3 x + \cos 3 x$ 的图象，可以将函数 $y = \sqrt{2} \sin 3 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到

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7. 已知向量 $\vec{A B} = (1 ， 2)$ ， $\vec{B D} = (2 ， 1)$ ， $\vec{B C} = (1 ， t)$ ， $t \in R$ ，若 $\vec{A D} ⊥ \vec{C D}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、0 B、2 C、8 D、 $\frac{4}{3}$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $C_{1} D_{1}$ 上，若直线 $B_{1} P$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[1 ， \sqrt{3}]$ C、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， 1]$

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二、多选题

9. 若不等式 $m < n$ 与 $\frac{1}{m} > \frac{1}{n}$ ( $m$ ， $n$ 为实数)同时成立，则下列不等关系可能成立的是（）

A、 $m < n < 0$ B、 $0 < m < n$ C、 $m < 0 < n$ D、 $m n > 0$

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10. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - i$ ，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z \bar{z} = 1$ C、 $z^{3} = \bar{z}$ D、复数z在复平面内对应的点在第一象限

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11. 下列说法中正确的为（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、向量 $\vec{e_{1}} = (2 ， 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2} ， - \frac{3}{4})$ 能作为平面内所有向量的一组基底 C、已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3} ， + \infty)$ D、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为30°

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折到 $△ C B D$ 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（）

A、存在某个位置，使得 $P C = 3$ B、存在某个位置，使得 $P B ⊥ C D$ C、存在某个位置，使得 $P$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点落在半径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 的球面上 D、存在某个位置，使得点 $B$ 到平面 $P D C$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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三、填空题

13. 已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} + a$ ， $2 x_{2} + a$ ，…， $2 x_{n} + a$ 的方差为.

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14. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为90°､半径为4的扇形，由此推算三棱锥的体积为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\tan A \tan B = 4 (\tan A + \tan B) \tan C$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} =$ .

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16. 在△ABC中，点 $O$ 是 $B C$ 的三等分点， $| \vec{O C} | = 2 | \vec{O B} |$ ，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $F$ ，且 $\vec{A B} = m \vec{A E}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A F}$ ( $m > 0$ ， $n > 0$ )，若 $\frac{1}{m} + \frac{t^{2}}{n} (t > 0)$ 的最小值为3，则正数 $t$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知 $\sin α + \cos α = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

(1)、求 $\sin α \cdot \cos α$ 的值；

(2)、若 $\frac{π}{2} < α < π$ ，求 $\frac{1}{\sin α} - \frac{1}{\cos α}$ 的值.

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18. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，共中样本数据分组区间 $[40 ， 50)$ ､ $[50 ， 60)$ ､…､ $[80 ， 90)$ ､ $[90 ， 100]$ .

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计该中学学生对个性化作业评分不低于80的概率；

(3)、从评分在 $[40 ， 60)$ 的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $[40 ， 50)$ 的概率.

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19. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (x)$ 在区间上 $[0 ， m]$ 的值域为 $[1 ， \frac{3}{2}]$ ，求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知复数 $z = a + b i$ ( $a$ ， $b \in R$ )，若存在实数 $t$ 使得 $a + b i = \frac{2 + 4 i}{t} + 3 a t i$ 成立.

(1)、求证： $2 a - b$ 为定值；

(2)、若 $| z + 1 | < \sqrt{2} | b |$ ，求 $| z |$ 的取值范围.

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21. 如图，在底面棱长为2侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $F$ 为 $A C_{1}$ 的中点.

(1)、求平面 $F B C$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值；

(2)、若在四面体 $F A B C$ 内放一球，求此球的最大半径.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1 (a \in R)$ .

(1)、若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $g (x) = f (\sin x) + f (\cos x) - 2$ ，存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，使得等式 $g (x_{1}) g (x_{2}) = - 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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