江苏省徐州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知i为虚数单位，则 $\frac{1 + 2 i}{2 - i} =$ （）

A、 $\frac{4}{3} + \frac{5}{3} i$ B、 $\frac{5}{3} i$ C、 $i$ D、 $- i$

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2. 在直角三角形ABC中，∠C=90º，则向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{A C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{A B}$ C、 $\vec{C A}$ D、 $\vec{C B}$

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3. 从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于 $4.8 g$ 的概率是0.3，质量不小于 $4.85 g$ 的概率是0.32，那么质量在 $[4.8 ， 4.85)$ 范围内的概率是

A、0.62 B、0.38 C、0.70 D、0.68

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4. 近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，徐州市入选．"幸福感指数"是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是（）

3	3	4	5	5	6	6	6	7	7
7	7	8	8	8	8	9	9	10	10

A、7.7 B、8 C、8.5 D、9

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5. 在 $△ A B C$ 中，AC=1， $A B = \sqrt{7}$ ，BC=3，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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6. 将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为 $2 \sqrt{2} π$ ，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 已知 $\cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{7 \sqrt{2}}{10} ，$ 则sin2θ=（）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{12}{25}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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8. 在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB=BD=DA=3， $C D = \sqrt{3}$ ，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{15}{4} π$ B、 $15 π$ C、 $\frac{3}{2} π$ D、 $6 π$

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二、多选题

9. 某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（）

A、女生人数多于男生人数 B、D层次男生人数多于女生人数 C、B层次男生人数为24人 D、A层次人数最少

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10. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| \vec{b} + 3 \vec{a} | = \sqrt{13}$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 3$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°

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11. 已知复数z满足(3+4 $i$ )z=|3-4 $i$ |(其中 $i$ 为虚数单位)，则（）

A、z的虚部为 $- \frac{4}{5}$ $i$ B、复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、 $z \cdot \bar{z} = 1$ D、当θ∈[0，2π)时，|5z-cosθ-isinθ|的最大值为6

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $D D_{1} ⊥ A F$ B、直线 $A F$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ C、平面 $A E F$ 截该正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ D、点 $C$ 到平面 $A E F$ 的距离为 $\frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 某工厂有A，B，C三个车间，A车间有1000人，B车间有400人．若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44的样本，其中B车间8人，则样本中C车间的人数为．

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14. 如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，D为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，则异面直线SA与CD所成角为．

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15. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 $\vec{A D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} ，$ 若 $\vec{A D} = 4 \vec{A F}$ ，则λ-μ的值为

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16. 甲､乙､丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{4}$ ，则三人都成功破译的概率是；密码被两人成功破译的概率为．

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为平面向量，且 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ .

(1)、若 $\vec{b} // \vec{a}$ ，且 $| \vec{b} | = 2 \sqrt{5}$ ，求向量 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b} = (3 ， 2)$ ，且 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值．

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18. 已知 $\tan α = \frac{1}{3} ， \cos β = \frac{\sqrt{5}}{5}$ 且 $0 < α < \frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2} < β < 2 π$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $α + β$ 的值．

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19. 如图①，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为AB，BC，BB₁ ，的中点．

(1)、求证：平面EFG⊥平面BB₁D₁D；

(2)、将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是 $\frac{160}{3}$ ，求该正方体的棱长．

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20. 2021年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用"3+1+2"模式，其中语文､数学､外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理､历史任选一门参加考试，满分100分，原始分计入总分，在思想政治､地理､化学､生物学4门科目中自选2门参加考试(4选2)，每科满分100分，进行等级赋分计入总分．为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分，以组距40分成8组：[80，120)，[120，160)，[160，200)，[200，240)，[240，280)，[280，320)，[320，360)，[360，400]，画出频率分布直方图如图所示．

(1)、求a的值

(2)、试估计这100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分的中位数；

(3)、为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理､化学､生物学四科成绩总分在[240，280)和[360，400]的两组中，用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

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21. ① $\sqrt{3} a sin C = c cos A$ ；② $2 a sin B = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) b sin \frac{B + C}{2}$ ；③ $2 {cos}^{2} (\frac{A}{2} + \frac{π}{8}) = 1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________

(1)、求角A﹔

(2)、已知 $a = \sqrt{3}$ ，求 $b^{2} + c^{2}$ 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，PA⊥PD，PA=PD，M，N分别为棱AB，PD的中点，二面角 $A - P B - C$ 的大小为60°，AB=3，BC=4

(1)、求证：直线 $M N //$ 平面PBC﹔

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值．

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