江苏省宿迁市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 下表是“拽步舞”比赛中12个班级的得分情况，则80百分位数是（）

班级得分

7

8

9

10

11

13

14

频数

2

1

2

3

1

2

1

A、13.5 B、10.5 C、12 D、13

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{b - c \cos A}{a - c \cos B} = \frac{\sin B}{\sin A}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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4. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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5. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不相同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $n \subset α$ ，则 $n / / β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / β$ D、若 $α / / β$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $m / / n$

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6. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} ， 3)$ ， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $C A = C B = \sqrt{3}$ ， $A A_{1} = 2$ ，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $16 π$ C、 $32 π$ D、 $64 π$

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8. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）．设两个圆柱底面半径为 $R$ ，牟合方盖与其内切球的体积比为 $4 ： π$ ．则此帐篷距底面 $\frac{R}{2}$ 处平行于底面的截面面积为（）

A、 $\frac{3}{4} π R^{2}$ B、 $3 π R^{2}$ C、 $\frac{4}{3} π R^{2}$ D、 $3 R^{2}$

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二、多选题

9. 设i为虚数单位，复数 $z = (a + i) (1 + 2 i)$ ， $a \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则 $a$ 的值为2 B、若 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ C、实数 $a = - \frac{1}{2}$ 是 $z = \bar{z}$ （ $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数）的充分不必要条件 D、若 $| z | = 5$ ，则实数 $a$ 的值为 $\pm 2$

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10. 中共中央决定，2021年在全党开展党史学习教育，激励全党不忘初心、牢记使命．某单位随机抽取了100名职工组织了“党史”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10）．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（）

A、成绩是49分或100分的职工人数是0 B、成绩优良的人数是35人 C、众数是75 D、平均分约为75.5分

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11. 已知 $O$ 是△ $A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则 $O$ 是△ $A B C$ 的重心 B、若向量 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ，则△ $A B C$ 是正三角形 C、若 $O$ 是△ $A B C$ 的外心， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{B C}$ 的值为-8 D、若 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ O A B} ： S_{△ O B C} ： S_{△ O A C} = 4 ： 1 ： 2$

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12. 已知边长为 $a$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折，下列说法正确的是（）

A、在翻折的过程中，直线 $A D$ ， $B C$ 所成角的范围是 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、在翻折的过程中，三棱锥 $D - A B C$ 体积最大值为 $\frac{a^{3}}{8}$ C、在翻折过程中，三棱锥 $D - A B C$ 表面积最大时，其内切球表面积为 $(14 - 8 \sqrt{3}) π a^{2}$ D、在翻折的过程中，点 $D$ 在面 $A B C$ 上的投影为 $D^{'}$ ， $E$ 为棱 $C D$ 上的一个动点， $E D^{'}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{4} a$

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三、填空题

13. 五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ，假定三人的选择相互之间没有影响，那么这个假期中至少有1人去北京旅游的概率为．

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14. 若 $\cos (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ ．

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15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $C$ 、 $D$ ，测得 $C D = 45 m$ ， $∠ A D B = 135^{\circ}$ ， $∠ B D C = ∠ D C A = 15^{\circ}$ ， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点的距离为 $m$ .

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16. 某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径 $R = 3$ ，正三棱柱的底面棱长 $a = \sqrt{3}$ ，且圆锥的侧面展开图的圆心角为 $\frac{6 π}{5}$ ，则该几何体的体积为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 4)$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角；

(2)、若 $(λ \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值．

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18. 已知复数 $z$ 满足 $| z | = \sqrt{2}$ ， $z^{2}$ 的虚部为2，在复平面内， $z$ 所对应的点 $A$ 在第一象限．

(1)、求复数 $\bar{z}$ ；

(2)、设向量 $\vec{O Z}$ 表示复数 $z$ 对应的向量， $(\cos θ + i \sin θ) \cdot z (θ > 0)$ 的几何意义是将向量 $\vec{O Z}$ 绕原点逆时针旋转 $θ$ 后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若 $△ O A B$ 是等边三角形，求向量 $\vec{O B}$ 对应的复数．

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19. 已知函数 $h (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ ， $g (x) = \cos (x - \frac{π}{3})$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，其中条件① $f (x) = h^{2} (x) + g^{2} (x)$ ；条件②： $f (x) = h (x) - g (x)$ ；条件③： $f (x) = h (x) \cdot g (x)$ ．求：

(1)、 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[0$ ， $\frac{3 π}{2}]$ 的取值范围.

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20. 某校高一年级为了了解某兴趣小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、若从该兴趣小组随机抽取一位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率；

(2)、利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成绩的方差 $s^{2}$ ；

(3)、为了掌握该小组知识的薄弱点，现采用分层抽样的方法，在50到80分之间，抽取一个容量为15的样本，在这15个成绩中，随机抽取2次（每次抽取一个且不放回），求在第一次抽到成绩在70—80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ C D$ ，且 $A D = C D = 4$ ， $B C = 8$ ， $P A = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上，是否存在一点 $M$ ，使得二面角 $M - A C - D$ 的大小为 $45 °$ ，如果存在，求 $B M$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的正切值，如果不存在，请说明理由．

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22. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 6$ ， $P$ ， $Q$ 为边 $B C$ 上两点， $\frac{C P}{B P} = \frac{B Q}{Q C} = \frac{A B}{A C} = 2$ ， $∠ C A Q = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $A Q$ 的长；

(2)、过线段 $A P$ 中点 $E$ 作一条直线 $l$ ，分别交边 $A B$ ， $A C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，设 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C} (x y \neq 0)$ ，求 $x + y$ 的最小值．

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班级得分	7	8	9	10	11	13	14
频数	2	1	2	3	1	2	1