江苏省无锡市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{5}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是（）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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2. 为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A、抽签法抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、随机数表法抽样

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3. 设四边形 $A B C D$ 为平行四边形，若点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{B M} = 3 \vec{M C} ， \vec{D N} = 2 \vec{N C}$ ， $\vec{M N} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则（）

A、 $x = - \frac{1}{3}$ ， $y = \frac{1}{4}$ B、 $x = \frac{1}{4}$ ， $y = \frac{1}{3}$ C、 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = - \frac{1}{4}$ D、 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = \frac{1}{4}$

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4. 已知一个半径为 $R$ 的半球，其体积为 $V_{1}$ ，一个底面半径和高都等于 $R$ 的圆柱，挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为 $V_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $V_{1} > V_{2}$ B、 $V_{1} = V_{2}$ C、 $V_{1} < V_{2}$ D、不确定

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5. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $C = \frac{π}{6}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{2 a + b}{2 \sin A + \sin B}$ 的值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 \sqrt{3}$

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6. 设平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 12$ ， $\vec{b} = (2 ， \sqrt{5})$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{8} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $\frac{1}{8} \vec{a}$

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7. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ，则 $m // β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m // n$ ， $α // β$ ，则 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角相等

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8. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\tan B = 2 \tan C$ ， $b = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、多选题

9. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面向上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 为相互独立事件 C、 $A$ 与 $B$ 相等 D、 $P (A) = P (B)$

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10. 下面四个命题中，真命题为（）

A、若复数 $z$ 满足 $- z \in R$ ，则 $z \in R$ B、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若复数 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$ D、若复数 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$

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11. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲    7    8    7    9    5    4    9    10    7    4

乙    9    5    7    8    7    6    8    6    7    7

下列说法中正确的是（    ）

A、甲、乙这次射击成绩的极差相同 B、甲、乙这次射击成绩的平均值相同 C、这次射击中乙比甲的成绩稳定 D、甲的射击成绩的第60百分位数为7.5

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12. 设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $E$ 为线段 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $C C_{1}$ 上的一个动点，则（）

A、存在点 $F$ ，使 $B_{1} D ⊥ E F$ B、直线 $A F$ 与平面 $A_{1} A D D_{1}$ 所成角为定值 C、平面 $A E F$ 截正方体的截面可能是五边形 D、当点 $F$ 与点 $C_{1}$ 重合时，平面 $A E F$ 截正方体的截面面积为 $8 \sqrt{6}$

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三、填空题

13. 设 $m$ 为实数，复数 $m (3 + i) - (2 + i)$ 在复平面内所对应的点位于第四象限，则 $m$ 的取值范围为．

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14. 若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{c} | = 3$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} | =$ ．

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15. 立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下：①设旗杆与地面交于O点，②在O点的正西方A点测得旗杆顶端P的仰角为45°，③在O点南偏东60°的B点处测得点P的仰角为60°，④测得A，B两点处的距离为 $4 \sqrt{21}$ 米，则该旗杆顶端距离地面的高度为米．

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16. 已知一个底面边长为 $4 \sqrt{3}$ ，侧棱长为6的正三棱锥，则此三棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值为，此三棱锥内切球的半径为．

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四、解答题

17. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：

组号	分组	频数	频率	$\frac{频率}{组距}$
1	[0，10)	1240	0.31	0.031
2	[10，20)	m	n	0.046
3	[20，30)	776	0.194	0.0194
4	[30，40)	72	0.018	p
5	[40，50)	48	0.012	0.0012
6	[50，60)	q	0.006	0.0006

(1)、求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；

(2)、若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，平面向量 $\vec{m} = (a + c ， b)$ ， $\vec{n} = (a - c ， b - \sqrt{2} a)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、现给出三个条件：① $c = 4$ ；② $(2 c - a) \cos B = b \cos A$ ；③ $a^{2} + b c \cos A - a c \cos B = 24$ ．请从中选择两个条件求出 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ， $A B // C D$ ， $P D = A D$ ， $E$ 是线段 $P B$ 中点， $F$ 是线段 $D C$ 上的点，且 $D F = \frac{1}{2} A B$ ， $P H ⊥ A D$ ，且 $P H \cap A D = H$ ．

(1)、证明： $E F //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、比较 $∠ P B H$ 与 $∠ P B A$ 的大小，并说明理由．

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20. 设 $z_{1}$ 是虛数， $z_{2} = z_{1} + \frac{4}{z_{1}}$ 是实数，且 $- 2 < z_{2} \leq 1$ ．

(1)、求 $z_{1}$ 的实部的取值范围；

(2)、若 $ω = \frac{z_{1} - 2}{z_{1} + 2}$ ，求 $z_{2} - ω^{2}$ 的最小值．

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21. 有甲、乙、丙、丁四支足球队到某地集训，该地只有一块训练场地，商定摸球决定哪支球队先使用场地．摸球办法如下：盒中共放有大小形状相同的四个球，其中有三个白球、一个黑球．
进行不放回的摸球，直到摸到黑球为止．若第一次摸到黑球，则甲队先使用；第二次摸到黑球，则乙队先使用；第三次摸到黑球，则丙队先使用；最后一次才摸到黑球，则丁队先使用．

(1)、这种摸球办法是否公平？请说明理由；

(2)、若改为放回摸球，是否公平？请说明理由．

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22. 已知在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，且满足 $A D ⊥ A B$ ， $A D = 4$ ， $A B = 2$ ， $∠ B C D = 135 °$ ， $B B_{1} = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $A B$ ， $B C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A_{1} A F$ ；

(2)、棱 $A A_{1}$ 上是否存在点 $G$ ，使 $E G //$ 平面 $A_{1} F D$ ，若存在，确定点 $G$ 的位置，若不存在，请说明理由．

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