江苏省南通市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[1 ， 2]$

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2. 设 $z i = 1 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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3. “ $a > b > 0$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $a = 2^{0.3}$ ， $b = \log_{0.3} 2$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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5. 德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为 $10753 d$ ．则天王星的公转时间约为（）

A、 $4329 d$ B、 $30323 d$ C、 $60150 d$ D、 $90670 d$

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6. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m // n$ ， $m // α$ ，则 $n // α$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ，则 $m // α$ C、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m // n$

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7. 甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4．则密码被破译的概率为（）

A、0.88 B、0.7 C、0.58 D、0.12

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8. 英国数学家泰勒发现了如下公式： $\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdot \cdot \cdot$ ，其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdot \cdot \cdot \times n$ ．根据该公式可知，与 $- 1 + \frac{1}{3!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} - \cdot \cdot \cdot$ 的值最接近的是（）

A、 $\cos 57.3 °$ B、 $\cos 147.3 °$ C、 $\sin 57.3 °$ D、 $\sin (- 32.7 °)$

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二、多选题

9. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点为 $(1 ， 3)$ 则（）

A、 $z + \bar{z} = 2$ B、 $z^{2} = 10$ C、 $z \bar{z} = 10$ D、 $| \frac{z}{1 + i} | = 5$

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10. 一只袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个白球和2个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“两次都摸到白球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则（）

A、甲与乙互斥 B、乙与丙互斥 C、乙与丁互斥 D、丙与丁互斥

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11. 已知 $O$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $\vec{O B} = \vec{A C} - \vec{A B}$ ，则 $O$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 D、若 $\vec{O A} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{O B} \cdot \vec{A C} = 0$ ，则 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} = 0$

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12. 已知圆台上、下底面的圆心分别为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，半径为 $2$ ， $4$ ，圆台的母线与下地面所成角的正切值为 $3$ ， $P$ 为 $O_{1} O_{2}$ 上一点，则（）

A、圆台的母线长为 $6$ B、当圆锥的 $P O_{1}$ 圆锥 $P O_{2}$ 的体积相等时， $P O_{1} = 4 P O_{2}$ C、圆台的体积为 $56 π$ D、当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为 $80 π$

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三、填空题

13. 今年5月1日，某校5名教师在“学习强国”平台上的当日积分依次为43，49，50， 52，56，则这5个数据的方差是．

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14. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (- 1 ， 2)$ ，则 $\tan (θ - \frac{π}{4}) =$ ．

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15. 已知 $a$ ， $b$ 是非零实数，若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + a x + b \geq 0$ 恒成立，则 $b + \frac{1}{a^{2}}$ 的最小值是．

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16. 已知函数 $f (x) = | x | - | x - 2 |$ ，则 $f (x)$ 的值域是，不等式 $f (x) < f (2 x)$ 的解集是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \log_{3} (3 + x) + \log_{3} (3 - x)$ ．

(1)、求证： $f (x)$ 为偶函数；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值．

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18. 在① $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ② $\frac{\tan A + \tan B}{\tan A \tan B - 1} = \sqrt{3}$ ③ $\frac{\sin C}{2 \sin B - \sin A} = \frac{\cos C}{\cos A}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足________．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D = 6$ ， $B D = 4$ ， $A B = 8$ ，求 $A C$ ．

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19. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $\vec{D E} = \vec{E C}$ ， $\vec{D F} = 2 \vec{F B}$ ．

求：

(1)、 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ ；

(2)、 $\cos ∠ E A F$ ．

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20. 某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：L）

得到如下频率分布表

分组	频数	频率
[ 1.5，4.5]	22	0.22
[ 4.5，7.5]	31	0.31
[ 7.5，10.5]	x	0.16
[ 10.5，13.5]	10	0.10
[ 13.5，16.5]	y	z
[ 16.5，19.5]	5	0.05
[ 19.5，22.5]	5	0.05
[ 22.5，25.5]	3	0.03
[ 25.5，28.5]	2	0.02
合计	100	1.

(1)、求上表中

x

，

y

，

z

的值；

(2)、试估计该区居民的月平均用水量；

(3)、从上表月平均用水量不少于

22.5 t

的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ， $E$ 为棱 $P D$ 上的一点，且 $D E = 2 E P = 2$ ．

(1)、求证： $P B / /$ 面 $A E C$ ；

(2)、求直线 $A E$ 与面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + 3 \sqrt{3} \cos^{2} x$ ．

(1)、若 $θ \in (0 ， π)$ ， $f (\frac{θ}{2}) = 3 \sqrt{3}$ ，求 $θ$ 的值；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，向下平移 $2 \sqrt{3}$ 个单位长度得到曲线 $C$ ，再把 $C$ 上所有的点横坐标变为原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象．若函数 $F (x) = g (\frac{π}{2} - 2 x) + m g (x)$ 在区间 $(0 ， n π)$ （ $n \in N^{*}$ ）上恰有 $2021$ 个零点，求 $m$ ， $n$ 的值．

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