江苏省南京市六校2020-2021学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z = \frac{4 i}{1 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $A = 60 °$ ， $B = 45 °$ ， $B C = 3 \sqrt{3}$ ，则 $A C =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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3. 某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $(a - \frac{1}{2} b) \cdot \sin A$ $= (b + c) \cdot (\sin C - \sin B)$ ，则 $\cos C$ =（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $C E$ 与 $B D$ 所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若向量 $\vec{m} = (a ， \frac{\sqrt{3}}{3} b)$ 与 $\vec{n} = (\cos A ， \sin B)$ 平行，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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7. 我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ $A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．若 $b = 2$ ， $a \sin B = 2 b \sin C$ ，则△ $A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 如图，在任意四边形 $A B C D$ 中，其中 $A D = 2$ ， $B C = 3$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点， $P$ ， $Q$ 分别是 $A C$ ， $B D$ 的中点，求 $\vec{P Q} \cdot \vec{F E}$ =（）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = 3 \cos α + i \cos 2 α (0 < α < 2 π)$ 的实部与虚部之和为-2，则 $α$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $π$ C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $\frac{5 π}{3}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $\sin (A + B) + \sin (A - B) = 3 \sin 2 B$ ．若 $C = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值可以等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、3

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11. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）

A、棱台的侧面积为 $9 \sqrt{3}$ B、棱台的高为 $\sqrt{3}$ C、棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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12. 共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图， $O$ 为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中， $A B = A C$ ，大圆半径 $O A = 2$ ，小圆半径 $O B = O C = 1$ ，记 $S$ 为三角形OAB与三角形OAC的面积之和，其中 $∠ B O C \in (0 ， \frac{2 π}{3}]$ ， $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，当 $S$ 取到最大值时，则下列说法正确的是（）

A、 $S$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $S$ 的最大值是 $\sqrt{3}$ C、 $λ + μ = \frac{3}{4}$ D、 $λ + μ = \frac{4}{5}$

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三、填空题

13. 计算： ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{10} =$

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14. 在 $△ A B C$ 中，若 $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = | \vec{A B} + \vec{A C} |$ ，则 $∠ B A C$ = ．

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15. 如图，在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC ， ∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=3，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为．

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16. 今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆O的内接四边形区域 $A B C D$ ，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．其中 $A B = 100$ ， $B C = 300$ ， $C D = D A = 200$ ，(单位：米)，则 $\cos A$ =；四边形 $A B C D$ 的面积为（平方米）．

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四、解答题

17. 在① $z + \bar{z} = 4$ ，②z为纯虚数，③ $z_{1} = \frac{z}{1 - i}$ 且 $z_{1}$ 对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (m - 1) i$ （i为虚数单位）， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，若 ▲ ，求实数m的值或取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）

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18. 已知 $f (x) = 2 \sin (2 ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值，并求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{7}{12} π]$ 上的值域．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ B A D = 120^{\circ}$ ．

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ；

(2)、求 $∠ B A C$ ．

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20. 百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目.100年来，中国社会沧桑巨变．今年是我国建党一百周年，某班(共50名同学)举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩(均在80~100之间)绘制成频率分布直方图如图．

(1)、求 $a$ 的值，并求在 $[80 ， 92)$ 的学生总人数；

(2)、若从成绩在 $[80 ， 88)$ 的同学中随机选出两人，求至少有一人成绩在 $[84 ， 88)$ 的概率．

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21. 如图， $A$ 是以 $B D$ 为直径的半圆 $O$ 上一点， $B C$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面．

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $B D = 2 B C = 2$ ， $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{A B}$ ，求二面角 $A - C D - B$ 的余弦值．

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22. 如图所示，某市有一块正三角形状空地 $△ A B C$ ，其中测得 $B C = 10$ 千米.当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 $△ D E F$ ，其中点 $D$ 在 $A B$ 边上，点 $E$ 在 $B C$ 边上，点 $F$ 在 $A C$ 边上， $D F = 2 D E$ ， $∠ D E F = 90^{\circ}$ ，剩余部分需做绿化，设 $∠ D E B = θ$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、当 $θ$ 变化时， $△ D E F$ 的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由.

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