江苏省连云港市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (x ， - 6)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则实数 $x =$ （）

A、9 B、4 C、-9 D、-4

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2. 计算 $\frac{2}{{(1 - i)}^{2}}$ 的结果是（）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $i$ D、 $- i$

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3. $\sin \frac{π}{12}$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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4. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿着正北方向航行．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船的距离是（）

A、 $20 \sqrt{2} nmile$ B、 $20 \sqrt{3} nmile$ C、 $20 \sqrt{5} nmile$ D、 $20 \sqrt{6} nmile$

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5. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = \sqrt{3}$ ， $A A_{1} = 1$ ，则 $A D_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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6. 甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为 $\frac{1}{4}$ ，乙译出密码的概率为 $\frac{1}{5}$ ，则密码被译出的概率是（）

A、 $\frac{9}{20}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{20}$

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7. 下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．

每场比赛得分

3

6

7

10

11

13

30

频数

2

1

2

3

1

1

1

则该队员得分的40百分位数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长 $l$ 与高 $h$ ，计算其体积 $V$ 的近似公式 $V \approx \frac{1}{36} l^{2} h$ ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 $π$ 近似取3，则近似公式 $V \approx \frac{11}{400} l^{2} h$ 相当于将圆锥体积公式中的 $π$ 近似取（）

A、 $\frac{157}{50}$ B、 $\frac{100}{33}$ C、 $\frac{355}{113}$ D、 $\frac{22}{7}$

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二、多选题

9. 若数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{10}$ 的平均数为2，方差为3，则（）

A、数据 $3 x_{1} + 2$ ， $3 x_{2} + 2$ ，…， $3 x_{10} + 2$ 的平均数为20 B、 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 20$ C、数据 $3 x_{1} + 2$ ， $3 x_{2} + 2$ ，…， $3 x_{10} + 2$ 的标准差为 $3 \sqrt{3}$ D、 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 70$

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10. 下列关于向量的说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $θ$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\cos θ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$

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11. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，下列结论正确的有（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 中至少有一个为0 C、 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$

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12. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 、 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A_{1} M$ 与直线 $C_{1} N$ 为异面直线 B、平面 $A N C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ C、三棱柱外接球的表面积为 $\frac{28 π}{3}$ D、直线 $C C_{1}$ 与平面 $A N C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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三、填空题

13. 已知平行四边形 $O A B C$ 的三个顶点 $O$ ， $A$ ， $C$ 对应的复数为0， $3 + 2 i$ ， $- 2 + 4 i$ ，则点 $B$ 所对应的复数为．

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14. 已知圆台下底面的半径为 $4 cm$ ，高为 $4 cm$ ，母线长为 $2 \sqrt{5} cm$ ，则圆台的体积为 ${cm}^{3}$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ ， $∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，延长 $B C$ 到 $D$ ，使得 $C D = 5$ ，则 $A D$ 的长为．

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16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ ；若 $t$ 为非零实数，则 $| \frac{1}{t} \vec{a} + t \vec{b} |$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在① $\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ ，② $a \cos A = b \cos B$ ，③ $a \cos B + b \cos A = a$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 在锐角三角形 $A B C$ 中， $\sin A = \frac{3}{5}$ ， $\tan (A - B) = - \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $\sin B$ 的值；

(2)、求 $\cos C$ 的值．

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19. 某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

网购金额（单位：千元）	人数	频率
$(0 ， 1]$	8	0.08
$(1 ， 2]$	12	0.12
$(2 ， 3]$	$x$	$p$
$(3 ， 4]$	$y$	$q$
$(4 ， 5]$	8	0.08
$(5 ， 6]$	7	0.07
总计	100	1.00

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为 $3 ： 2$ ．

(1)、求

x

，

y

，

p

，

q

的值，并补全频率分布直方图（如图）；

(2)、该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在

(1 ， 2]

和

(4 ， 5]

的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？

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20. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，点 $P$ 为面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的一点．

(1)、画出图1中平面 $P E F$ 与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 的交线；

(2)、如图2，若 $P$ 为矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 对角线的交点， $A B = 6$ ， $B C = 4$ ， $B B_{1} = 2$ ，求点 $B$ 到平面 $P E F$ 的距离．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x ， \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x ， \cos x)$ ，函数 $f (x) = 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及最小值；

(2)、若 $f (\frac{x}{2}) = \frac{1}{4}$ ，求 $\sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的值．

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22. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = B_{1} C = 1$ ， $∠ C B B_{1} = ∠ C B A = 45 °$ ， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ．

(1)、求二面角 $A - B_{1} B - C$ 的余弦值；

(2)、求证：平面 $B_{1} B C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ．

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每场比赛得分	3	6	7	10	11	13	30
频数	2	1	2	3	1	1	1