江苏省常州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数z＝ $\frac{2 - 3 i}{1 +i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、－ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、－ $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2} i$

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2. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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3. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC一定是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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4. 魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知 $\sin α + \cos α = \frac{1}{3} ， α \in (0 ， π)$ ，则 $\sin α - \cos α$ 的值为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{17}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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6. ①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，点 $P$ ， $Q$ 分别是 $O A$ ， $B C$ 的中点，点 $D$ 为线段 $P Q$ 上一点，且 $\vec{P D} = 2 \vec{D Q}$ ，若记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O D} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$

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8. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P A ⊥$ 底面 $A B C D ， A B ⊥ B C ， A D ⊥ C D$ ，且 $∠ B A D = 120 ° ， P A = A B = A D = 2$ ，则该四棱锥外接球的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $20 π$ C、 $20 \sqrt{5} π$ D、 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$

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二、多选题

9. 在复平面内，下列说法正确的是（）

A、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ B、若复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $z^{2021} = - i$ C、若复数 $z = m + n i (m ， n \in R)$ ，则 $z$ 为纯虚数的充要条件是 $m = 0$ D、若复数 $z$ 满足条件 $2 \leq | z | \leq 3$ ，则复数 $z$ 对应点的集合是以原点 $O$ 为圆心，分别以 $2$ 和 $3$ 为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界

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10. 黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：

血型

A

B

AB

O

该血型的人所占比例

0.28

0.29

0.08

0.35

已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是（）

A、任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64 B、任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29 C、任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1 D、任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ ， $Q$ 分别为棱 $B C$ 和 $C C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A Q P$ B、 $B C_{1} //$ 平面 $A Q P$ C、异面直线 $A_{1} C$ 与 $P Q$ 所成角为90° D、平面 $A Q P$ 截正方体所得截面为等腰梯形

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12. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 上的动点，设 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，其中 $λ ， μ \in (0 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{B E} | = | \vec{A F} |$ ，则 $λ + μ = 1$ B、若 $λ = μ$ ，则 $\vec{E F}$ 与 $\vec{B C}$ 不共线 C、若 $λ + μ = 1$ ，记三角形 $A E F$ 的面积为 $S$ ，则 $S$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、若 $λ^{2} + μ^{2} = 1$ ，且 $M$ ， $N$ 分别是 $E F$ ， $B C$ 边的中点，则 $| M N |$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$

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三、填空题

13. 已知样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为2，则样本数据 $3 x_{1} - 2$ ， $3 x_{2} - 2$ ， $3 x_{3} - 2$ ， $3 x_{4} - 2$ ， $3 x_{5} - 2$ 的方差为．

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14. $\frac{\sin 15^{\circ} \cos 5^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\cos 15^{\circ} \cos 5^{\circ} - \cos 20^{\circ}} =$ ．

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15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$ ， $a = 3$ ，若点 $P$ 在边 $B C$ 上，并且 $B P = 2 P C$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $O P$ 之长为．

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四、解答题

17. 甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．

(1)、若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)；

(2)、现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件?为什么?

(3)、这种游戏规则公平吗?试说明理由．

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18. 已知 $O$ 是坐标原点，向量 $\vec{O A} = (2 ， 3) ， \vec{O B} = (6 ， 1) ， \vec{O P} = (x ， 0)$ ，

(1)、若 $\vec{P A} ⊥ \vec{P B}$ ，求实数 $x$ 的值；

(2)、当 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 取最小值时，求 $△ A B P$ 的面积．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\cos (A - C) + \cos B = \sqrt{2} \sin A$ ，且 $C \in (0 ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边上的一点，且 $A D = 5$ ， $A B = 7$ ， $D B = 3$ ，求 $A C$ 的长．

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20. 如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A ， B$ 的点， $P O$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面，且 $P O = O B = 2$ ．

(1)、若 $D$ 为线段 $A C$ 的中点，求证：平面 $P A C$ $⊥$ 平面 $P O D$ ；

(2)、若 $A C = B C$ ，点 $E$ 是线段 $P B$ 上的动点，求 $C E + O E$ 的最小值．

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21. 螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量

x

(单位：箱)在

[100 ， 200)

的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：

采购数 $x$	$[100 ， 120)$	$[120 ， 140)$	$[140 ， 160)$	$[160 ， 180)$	$[180 ， 200)$
客户数	10	10	5	20	5

已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的 $\frac{5}{8}$ ．

(1)、根据表中的数据完善频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数；

(2)、估算小刘去年总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(3)、小刘今年销售方案有两种：

①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；

②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m元( $2 \leq m \leq 5$ )，销售量可增加1000m箱．

问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y(单位：元)的最大值．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D = C D = 3$ ， $B C = 4$ ， $△ P B C$ 为正三角形，点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $A D$ 和 $P C$ 上，且 $\frac{D M}{A M} = \frac{C N}{P N} = 2$ ．设二面角 $P - A D - B$ 为 $θ$ ，且 $\cos θ = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求证： $P M //$ 平面 $B D N$ ；

(2)、求直线 $P M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值；

(3)、求三棱锥 $P - A B N$ 的体积．

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血型	A	B	AB	O
该血型的人所占比例	0.28	0.29	0.08	0.35