上海市金山区2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-08-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{a^{2} + 4}$ D、 $\sqrt{a^{3}} (a \geq 0)$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{54} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{5 \sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{4}}{2} = 2$ D、 $\sqrt{2 a} - \sqrt{4 a} = 0 (a > 0)$

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3. 已知正比例函数图象经过点 $A (1 ， - 3)$ ，则此函数图象必经过（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $(6 ， - 2)$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(2 ， 6)$

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4. 若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 满足 $a - b + c = 0$ ，称此方程为“月亮”方程．已知方程 $a^{2} x^{2} - 1999 a x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 是“月亮”方程，求 $a^{2} + 1999 a + \frac{1999 a}{a^{2} + 1}$ 的值为（）

A、0 B、2 C、1 D、-2

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二、填空题

5. 分母有理化： $\frac{1}{\sqrt{5} + 2} =$ ．

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6. 写出 $\sqrt{a} + 1$ 的一个有理化因式是 .

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7. 若最简二次根式 $\sqrt[a - 1]{3}$ 与 $2 \sqrt{b + 1}$ 是同类二次根式，则 $b^{a} =$ ．

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8. 化简： $\sqrt{\frac{x^{5} y}{9}} (x \cdot y > 0) =$ ．

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9. 计算： $\frac{1}{3} \sqrt{12 x} \div 2 \sqrt{\frac{1}{3 x}} =$ ．

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10. 方程 $x^{2} = - \frac{1}{2} x$ 的根是．

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11. 关于x的一元二次方程 $(m - 3) x^{2} + x + m^{2} - 3 m - 3 = 0$ 有一个根为零，则 $m$ 的值为．

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12. 关于 $x$ 的不等式 $\sqrt{8} x > \sqrt{12} x + 2 \sqrt{3}$ 的解集是．

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13. 在实数范围内分解因式： $x^{2} + 4 x - 1 =$ ．

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14. 函数 $y = \frac{x}{\sqrt{x + 2}}$ 的定义域为．

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15. 若函数 $y = (m + 1) x^{m^{2} - 3}$ 是正比例函数，且图像在一、三象限，则 $m =$ ．

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16. 已知点 $A (2 ， - 1)$ 在正比例函数的图象上，则这个函数的解析式为．

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17. 一种型号的手机，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，假设两次降价的百分率均为 $x$ ，则x= ．

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18. 对于实数 $a ， b$ ，定义运算“ $*$ ”： $a * b = {\begin{array}{l} \sqrt{a} - \sqrt{b} (0 \leq a < b) \\ \sqrt{a - b} (a \geq b) \end{array}$ ．例如 $9 * 2$ ，因为 $9 \geq 2$ ，所以 $9 * 2 = \sqrt{9 - 2} = \sqrt{7}$ ．若 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 12 x + 27 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} * x_{2} =$ ．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{1}{x} \sqrt{4 x} - \sqrt{\frac{4}{x}} + 3 x \sqrt{\frac{1}{x^{3}}}$

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20. 计算： $2 \sqrt{6 a^{7}} \div 4 \sqrt{\frac{a^{3}}{3}} \div \frac{1}{2} \sqrt{\frac{a}{2}}$

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21. 解方程： $2 y (y - 2) = y^{2} - 3$

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22. 用配方法解方程： $3 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

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23. 解方程： ${(2 x - 3)}^{2} - 6 = 3 - 2 x$ ．

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24. 先化简，再求值： $\frac{a - 1}{2 a} \div (1 - \frac{1 + a^{2}}{2 a})$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ．

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25. 已知关于 $x$ 的方程 $2 m x^{2} - (2 m - 1) x - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，求 $m$ 的值及方程的根．

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26. 如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程 $s$ （米）与时间 $t$ （秒）之间的函数关系的图像分布为折线 $O A B$ 和线段 $O C$ ，请根据图上信息回答下列问题：

(1)、乙到达终点用了秒；

(2)、第秒时，乙追上了甲；

(3)、比赛全程中，乙的速度是米/秒；

(4)、甲从点 $A$ 到点 $B$ 这段路的速度是米/秒；

(5)、乙在整个过程中所跑的路程 $s$ （米）与时间 $t$ （秒）之间的函数关系式：．

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27. 如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形 $A B C D$ 的面积为216平方米，求 $A B ， B C$ 边各为多少米？

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28. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 的图像经过点 $A (1 ， \frac{1}{2})$ ，点 $B$ 的坐标为 $(2 ， 6)$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求 $Δ O A B$ 的面积；

(3)、若点 $C$ （不与点 $A$ 重合）在此正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 图像上，且点 $C$ 的横坐标为 $a$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．（用 $a$ 的代数式表示）

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