湖南省长沙市长沙县2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-23 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. 已知全集U={2，4，6，8，10}，集合A={2，4}，则 $∁_{U} A =$ （）

A、{2，4} B、{6，8，10} C、{2，4，6，8} D、{2，4，6，8，10}

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2. 截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是（）

A、圆柱 B、圆锥 C、球 D、圆台

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3. 函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2^{- x}$ 关于（）对称．

A、x轴 B、y轴 C、 $y = x$ D、原点

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4. 从某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如图所示的茎叶图．若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[499，501]内的概率为（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{6}{13}$ C、 $\frac{7}{13}$ D、 $\frac{8}{13}$

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5. △ABC中，若a=1，c=2，B=30°，则△ABC的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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6. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x_i ， y_i）（i=1，2，…，20）得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + b x^{2}$ C、 $y = a + b e^{x}$ D、 $y = a + b \ln x$

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7. 设l₁ ， l₂ ， l₃是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）

A、若l₁∥α，α∥l₂ ，则l₁∥l₂ B、若l₁⊥α，l₂⊥α，则l₁⊥l₂ C、若l₁∥l₂ ， $l_{1} \subset α$ ， $l_{2} \subset β$ ， $α \cap β = l_{3}$ ，则l₁∥l₃ D、若α⊥β， $α \cap γ = l_{1}$ ， $β \cap γ = l_{2}$ ，则l₁∥l₂

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8. 已知从甲袋内摸出1个红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙袋内摸出1个红球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，从两袋内各摸出1个球，则 $\frac{2}{3}$ 等于（）

A、2个球不都是红球的概率 B、2个球都是红球的概率 C、2个球中至少有1个红球的概率 D、2个球中恰好有1个红球的概率

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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10. 已知离散型随机变量X的分布列如下表，则（）

X

-1

0

1

P

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}$

A、 $P (X = 0) = \frac{1}{3}$ B、 $E (X) = - \frac{1}{3}$ C、 $D (X^{2}) = \frac{2}{9}$ D、 $D (X) = \frac{23}{27}$

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11. 如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是（）

A、AC⊥SB B、AB∥平面SCD C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \cos^{2} x$ ，下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间（0， $\frac{π}{8}$ ）上为增函数 C、直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴； D、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 函数 $f (x) = 2 a^{x - 1} + 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）恒过一个定点，则该点的坐标为．

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14. 如图为函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ， $x \in R$ ）的部分图象，则 $y = f (x)$ 函数解析式为．

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15. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{3} + a_{4} = 12$ ， $S_{3} = 9$ ，则 $a_{7} =$ ．

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16. 已知随机变量X服从正态分布N（1， $σ^{2}$ ），若P（ $0 < X \leq 1$ ）=0.3，则P（ $X \geq 2$ ）= ．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分。

17. 在二项式 ${(x - \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中，求：

(1)、展开式的第四项；

(2)、展开式的常数项；

(3)、展开式的各项系数的和．

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $a = 2 \sqrt{2}$ ，
$b = 5$ ， $c = \sqrt{13}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、求 $\sin A$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 A + \frac{π}{3})$ 的值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 32 n - n^{2} + 1$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的前20项的和；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、求数列 ${a_{n}}$ 的前多少项和最大．

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20. 已知圆C： ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 4$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）与x轴，y轴分
别相切于A，B两点．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线l： $y = k x - 2$ 与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；

(3)、试讨论直线l： $y = k x - 2$ 与圆C： ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 4$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的位置关系．

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21. 设a是实数， $f (x) = a - \frac{1}{2^{x} + 1}$ $(x \in R)$ ．

(1)、试证明对于任意a， $f (x)$ 为增函数；

(2)、试确定a值，使 $f (x)$ 为奇函数．

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22. 微信是现代生活信息交流的重要工具，随机对使用微信的100人进行统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”，不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”，已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为3：2．

使用微信时间（单位：小时）	（0，0.5]	（0.5，1]	（1，1.5]	（1.5，2]	（2，2.5]	（2.5，3]	合计
频数	5	15	15	x	30	y	100
频率	0.05	0.15	0.15	p	0.30	q	1.00

(1)、确定x，y，p，q的值；

(2)、为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信依赖”和“非微信依赖”的100人中用分层随机抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信依赖”的人数为X，求X的分布列；

(3)、求（2）中选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率．

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X	-1	0	1
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$