河北省石家庄市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为

A、30、10、5 B、25、15、5 C、20、15、10 D、15、15、15

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = \frac{i^{2021}}{1 - i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）

A、如果 $m / / α$ ， $n / / α$ ，那么 $m / / n$ B、如果 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，那么 $m ⊥ n$ C、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，那么 $α ⊥ β$ D、如果 $α / / β$ ，直线 $m$ 与 $α$ 所成的角和直线 $n$ 与 $β$ 所成的角相等，那么 $m / / n$

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4. 一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）

A、17.2，3.6 B、54.8，3.6 C、17.2，0.4 D、54.8，0.4

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5. 已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ .若 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ， $2 S = \sqrt{3} \vec{B A} \cdot \vec{C A}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、正三角形 D、等腰直角三角形

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6. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 $O$ 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，面积为 $3 π$ ，则球 $O$ 的表面积等于（）

A、 $\frac{81 π}{8}$ B、 $\frac{81 π}{2}$ C、 $\frac{121 π}{8}$ D、 $\frac{121 π}{2}$

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7. 已知函数 $g (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ)$ ， $g (x)$ 图像上每一点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $f (x)$ 的图像， $f (x)$ 的部分图像如图所示，若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = {| \vec{A B} |}^{2}$ ，则 $ω$ 等于（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 已知菱形 $A B C D$ 边长为1， $∠ B A D = 60^{°}$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成平面角为 $θ$ 的二面角，若 $θ \in [60^{°} ， 120^{°}]$ ，则折后点O到直线 $A C$ 距离的最值为（）

A、最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，最大值为 $\frac{3}{2}$ B、最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，最大值为 $\frac{3}{4}$ C、最小值为 $\frac{1}{4}$ ，最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、最小值为 $\frac{3}{4}$ ，最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 下列命题不正确的是（）

A、若 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，则当 $a = 0$ 时， $z$ 为纯虚数 B、若 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ， $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ C、若实数 $a$ 与 $a i$ 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系 D、若 $| z + \sqrt{3} + i | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为3

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10. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (- 3 ， 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $- \frac{\sqrt{10}}{2} \vec{a}$ C、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 5$ D、与向量 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$

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11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为 $R$ 的水车，一个水斗从点 $A (3 ， - 3 \sqrt{3})$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过 $t$ 秒后，水斗旋转到 $P$ 点，设点 $P$ 的坐标为 $(x ， y)$ ，其纵坐标满足 $y = f (t) = R \sin (ω t + φ) (t \geq 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，则下列叙述正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、当 $t \in [0 ， 60]$ 时，函数 $y = f (t)$ 单调递增 C、当 $t \in [0 ， 60]$ 时，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离的最大值为 $3 \sqrt{3}$ D、当 $t = 100$ 时， $| P A | = 6$

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12. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = B B_{1}$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $O$ 为 $A_{1} C$ 的中点.点 $P$ 是 $B C_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当点 $P$ 运动到 $B C_{1}$ 中点时，直线 $A_{1} P$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、无论点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上怎么运动，都有 $A_{1} P ⊥ O B_{1}$ C、当点 $P$ 运动到 $B C_{1}$ 中点时，才有 $A_{1} P$ 与 $O B_{1}$ 相交于一点，记为 $Q$ ，且 $\frac{P Q}{Q A_{1}} = \frac{1}{3}$ D、当点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上运动时，直线 $A_{1} P$ 与 $A B$ 所成角可以是 $30 °$

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三、填空题

13. 复数2+i为一元二次方程x²+ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，则复数|a+bi|＝．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{N C} ， P$ 是线段 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，则实数 $m =$ ．

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15. 设定义在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的函数 $y = 2 \cos x$ 的图象与 $y = 3 \tan x$ 的图象交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $P_{1}$ ，直线 $P P_{1}$ 与函数 $y = \sin x$ 的图象交于点 $P_{2}$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的长为.

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16. 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是 $\frac{160000}{3} {cm}^{3}$ ，则正方体石块的棱长是 $cm$ ；若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，则此球形石凳的最大体积是 ${cm}^{3}$ .

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $| k \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} - k \vec{b} | (k > 0 ， k \in R)$

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的最大值.

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + \frac{π}{6}) (A > 0 ， ω > 0)$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数 $f (x)$ 的最大值为2；②函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ 的图象平移得到；③函数 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、请写出这两个条件序号，并求出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求方程 $f (x) + 1 = 0$ 在区间 $[- π ， π]$ 上所有解的和.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 为侧棱 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若平面 $A B E$ 与侧棱 $P C$ 交于点 $F$ .且 $P A = P D = A D = 2$ ，求四棱锥 $P - A B F E$ 的体积.

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20. 某科研课题组通过一款手机

A P P

软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”

)

，得到如下的频数分布表：

周跑量

$(km/$ 周)

$[10 ， 15)$

$[15 ， 20)$

$[20 ， 25)$

$[25 ， 30)$

$[30 ， 35)$

$[35 ， 40)$

$[40 ， 45)$

$[45 ， 50)$

$[50 ， 55)$

人数

100

120

130

180

220

150

(1)、补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；

(2)、根据以上图表数据，试求样本的中位数(保留一位小数)；

(3)、根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：

周跑量	小于20公里	20公里到40公里	不小于40公里
类别	休闲跑者	核心跑者	精英跑者
装备价格(单位：元)	2500	4000	4500

根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？

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21. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 $A O B$ 进行改建.如图所示，平行四边形 $O M P N$ 区域为停车场，其余部分建成绿地，点 $P$ 在围墙 $A B$ 弧上，点 $M$ 和点 $N$ 分别在道路 $O A$ 和道路 $O B$ 上，且 $O A =6 0$ 米， $∠ A O B = 60 °$ ，设 $∠ P O B = θ$ ．

(1)、求停车场面积 $S$ 关于 $θ$ 的函数关系式，并指出 $θ$ 的取值范围；

(2)、当 $θ$ 为何值时，停车场面积 $S$ 最大，并求出最大值（精确到 $0.1$ 平方米）.

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22. 如图1，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 3$ ， $C D = 1$ ， $B C = 2$ ，E､F分别为腰 $A D$ ､ $B C$ 的中点.将四边形 $C D E F$ 沿 $E F$ 折起，使平面 $E F C^{'} D^{'} ⊥$ 平面 $A B F E$ ，如图2，H，M别线段 $E F$ ､ $A B$ 的中点.

(1)、求证： $M H ⊥$ 平面 $E F C^{'} D^{'}$ ；

(2)、请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面 $D^{'} H M$ 垂直，并给出证明：

(3)、若N为线段 $C^{'} D^{'}$ 中点，在直线 $B F$ 上是否存在点Q，使得 $N Q //$ 面 $D^{'} H M$ ？如果存在，求出线段 $N Q$ 的长度，如果不存在，请说明理由.

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