河北省保定市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $z - 1 = \frac{4}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、13 C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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2. 设平面向量 $\vec{a} = (x ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、3

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3. 小明和小红5次考试数学成绩统计如下：

姓名	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
小明	107	111	110	109	113
小红	99	110	111	108	112

则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为（）

A、110 B、108 C、22 D、4

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4. 炎炎夏日，冰淇淋成为青年人的热宠，现用简单随机抽样的方法监测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）

A、 $\frac{1}{21}$ ， $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{1}{21}$ ， $\frac{1}{21}$ C、 $\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{7}$

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5. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B C_{1}$ 的中点，则直线 $D P$ 与 $B_{1} C_{1}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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6. 如图所示，平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = 2 \vec{E C}$ ，点F为线段AE的中点，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{B F}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A E} + \vec{B F}$ C、 $\frac{5}{4} \vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{B F}$ D、 $\frac{5}{4} \vec{A E} + \vec{B F}$

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7. 《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（）

A、 $\frac{7}{32}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{7}{64}$ D、 $\frac{3}{16}$

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8. 用斜二测画法绘出 $△ A B C$ 的水平放置的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，如图所示，其中 $A^{'} C^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A^{'} B^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 绕 $A C$ 所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（）

A、 $\frac{5}{3} π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{10}{3} π$

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二、多选题

9. 以下四种说法正确的是（）

A、 $i^{3} - \frac{2}{i} = i$ B、复数 $z = 3 - 2 i$ 的虚部为 $- 2 i$ C、若 $z = {(1 + i)}^{2}$ ，则复平面内对应的点位于第二象限 D、复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数

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10. 以下结论不正确的是（）

A、对立事件一定互斥 B、事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率 C、事件A与事件B互斥，则有 $P (A) = 1 - P (B)$ D、事件A，B满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则A，B是对立事件

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11. 已知直线a，b与平面 $α$ ， $β$ ，则下列说法不正确的是（）

A、若 $α \cap β = a$ ， $b ⊥ a$ ， $b \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $a / / α$ ， $b / / β$ ， $a / / b$ ，则 $α / / β$ C、若 $a \subset α$ ， $a / / β$ ， $α \cap β = b$ ，则 $a / / b$ D、若 $a$ ， $b$ 为异面直线， $a \subset α$ ， $a / / β$ ， $b \subset β$ ， $b / / α$ ，则 $α / / β$

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12. 三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P O ⊥$ 平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，则下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ，则O为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P A} \cdot \vec{P C}$ ，则O为 $△ A B C$ 的垂心 C、若 $P A = P B = P C$ ，则O为 $△ A B C$ 的外心 D、若 $P A ⊥ P B$ ， $P B ⊥ P C$ ， $P C ⊥ P A$ ，则O为 $△ A B C$ 的内心

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三、填空题

13. 甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{5}$ ，获得二等奖的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{3}{5}$ ，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 5)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是.

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15. 一艘货船从A处出发，沿北偏西50°的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10°，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55°，那么B，C两点间的距离是海里.

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16. 已知三棱锥 $S - A B C$ ， $S A ⊥$ 平面ABC， $A B = S A = 2$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则该三棱锥外接球的半径为；若此三棱锥可以在正方体中任意转动，则该正方体的最小体积为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $(2 a - c) \cos B = b \cos C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $a + c$ .

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18. 工信部副部长刘烈宏在2021年世界电信和信息社会日大会上表示，据全球移动通信协会监测，我国移动用户月均支出低于全球的平均水平.某单位全体员工通讯费用(单位：元)如图所示，数据分组依次为 $[20 ， 40)$ ， $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100)$ .

(1)、估计本单位员工话费的第90百分位数；

(2)、若单位有100名员工，采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，求每组应抽取的样本量；

(3)、估计本单位员工通讯费用的众数和平均数.

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19. 已知 $\vec{a} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + k \vec{b}) / / (k \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $P B$ 中点.

(1)、求证： $P D / /$ 平面 $E A C$ ；

(2)、若 $P A = A D = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，求三棱锥 $P - A C D$ 的表面积.

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21. 新冠肺炎疫情已经对人类生产生活带来严重挑战，对未来也将产生非常深远的影响，为适应疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，拟成立一个由3人组成的科学防疫宣讲小组，现初步选定2名女生，3名男生为候选人，每位候选人当选的机会是相同的.

(1)、求当选的3名同学中恰有1名女生的概率；

(2)、求当选的3名同学中至多有2名男生的概率.

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22. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，过 $A$ 做 $A E ⊥ C D$ 于E，沿AE把ADE折起，设点D折起后的位置为P，且 $P C = P E = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A E = \frac{1}{2} C E = 2$ .

(1)、求证：平面 $P A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、在棱PC上是否存在一点F，使直线 $B F / /$ 平面 $P A E$ ？并说明理由；

(3)、求直线PB与平面PAE所成的角.

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