福建省厦门市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $z (1 + i) = 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 +i$ C、 $1 - i$ D、 $1 +i$

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2. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，且 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 2 \vec{a} + λ \vec{b}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则实数 $λ =$ （）

A、-4 B、-1 C、1 D、4

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3. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142

435 414 335 132 123 233 314 232 353 442

据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（）

A、0.4 B、0.45 C、0.55 D、0.6

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4. 厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点.甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为 $2 π$ 的半圆，则这个圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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6. 为庆祝建党100周年，某校组织“心中歌儿献给党”歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分.可以判断出一定有出现100分的是（）

A、平均数为97，中位数为95 B、平均数为98，众数为98 C、中位数为95，众数为98 D、中位数为96，极差为8

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7. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $\cos B = \frac{3}{4}$ ， $c = 2 a$ ， $A C$ 边上的中线长度为 $m$ ，则 $\frac{m}{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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8. 如图（1）平行六面体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 盛有高度为 $h$ 的水， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B =$ $∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ .固定容器底而一边 $B C$ 于地而上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过 $A$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D$ 四点，则 $h$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 某学生为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市2020年月平均气温的相关数据，得到折线图（如图），则（）

A、甲城市有3个月的月平均气温低于0℃ B、甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大 C、甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低 D、甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小

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10. 复数 $z$ 的共轭复数为 $\overline{z}$ ，则（）

A、 $z$ 与 $\overline{z}$ 在复平面内对应的点关于实轴对称 B、 $z \cdot \overline{z}$ 在复平面内对应的点在虚轴上 C、若 $| z - 1 | = | z + 1 |$ ，则 $\overline{z}$ 在复平面内对应的点在实轴上 D、若 $| \bar{z} | = 1$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆

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11. 如图是长方体的平面展开图， $A B = 3$ ， $B E = 2$ ， $B C = 4$ ，则在该长方体中（）

A、 $B$ ， $C$ ， $F$ ， $G$ 四点共面 B、直线 $A E$ 与直线 $G C$ 平行 C、直线 $B H$ 与平面 $A C G$ 的距离为3 D、三棱锥 $B - D F H$ 外接球的表面积为 $29 π$

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12. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 3)$ ， $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{c} = (2 ， 4)$ ，则（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{b}$ B、与 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量为 $(- \frac{\sqrt{5}}{5} ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 或 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、 $\vec{b} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$ 的最小值为0 D、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为 $\sqrt{5}$

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三、填空题

13. 已知 $1 + i$ 是关于 $x$ 的一元次方程 $x^{2} + p x + 2 = 0$ (其中 $p \in R$ )的一个根，则 $p =$ .

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14. 为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了10名学生，统计其参加活动的时长（单位：小时），得到以下数据：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22，则该组数据的75%分位数为.

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15. 若平面上的三个力 $\vec{F_{1}}$ ， $\vec{F_{2}}$ ， $\vec{F_{3}}$ ，作用于同一点，且处于平衡状态.已知 $| \vec{F_{1}} | = \sqrt{3} N$ ， $| \vec{F_{2}} | = 2 N$ ，且 $\vec{F_{1}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则 $\vec{F_{2}}$ 与 $\vec{F_{3}}$ 的夹角为.

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16. 厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素.小明计划测量双子塔 $A$ 塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°.则A塔的高度约为米.（精确到个位）参考数据： $\sin 4 ° \approx 0.07$ ， $\sin 33.1 ° \approx 0.55$ ， $\sin 63.7 ° \approx 0.90$ ， $\sin 79.2 ° \approx 0.98$ .

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四、解答题

17. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $A E = 2 B E$ ，点 $F$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E D}$ ， $\vec{E F}$ ；

(2)、已知 $E D ⊥ E F$ ，求证： $A B = \frac{3}{2} A D$ .

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18. 如图，在长方体木料 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A D = 2 A A_{1} = 2$ ， $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，要过点 $E$ 和棱 $B C$ 将木料锯开.

(1)、在木料表面画出符合要求的线，写出作图过程并说明理由；

(2)、写出切割后体积较大的几何体的名称，并求出它的体积.

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19. 甲、乙两人进行投篮比赛，约定赛制如下：选定投篮位置，并在同一位置连续投篮三次，站在3分线外每次投中得3分，站在3分线内每次投中得2分，总得分高者胜出.假设乙同学在3分线内投篮，每次投中概率为0.7，在3分线外投篮，每次投中概率为0.4.用 $Y$ 表示乙投中， $N$ 表示乙未投中，假设每次能否投中是独立的.

(1)、观察乙的投篮情况，根据树状图填写样本点，并写出样本空间；

(2)、已知甲三次总得分为4分，若乙想赢得比赛，你建议他位置选在3分线内还是3分线外，为什么？

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20. 某校有高中生2000人，其中男女生比例约为

5 ： 4

，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为

n

的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20.

身高（单位： $cm$ ）	$[145 ， 155)$	$[155 ， 165)$	$[165 ， 175)$	$[175 ， 185)$	$[185 ， 195]$
频数	$m$	$p$	$q$	6	4

(1)、根据图表信息，求

n

，

q

并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）

(2)、计算方案二中总样本的均值及方差；

(3)、计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形.

(1)、直线 $A C$ 与平面 $P B D$ 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；

(2)、若二面角 $P - C D - B$ 的平面角为60°，求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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22. 在① $c (a \cos B - b \cos A) = a^{2} - 1$ ；② $b \cos A + a b \cos B = c$ ；③ $4 S \sin B = \cos (A - C) + \cos B$ 中选个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题.
问题：设钝角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ . $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，______.

(1)、求 $b$ ；

(2)、若点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $△ O A C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ O A B$ 与 $△ O B C$ 的面积之和的最大值.

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