福建省泉州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z = (1 - 2 i) i$ ( $i$ 为虚数单位)对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件 $A =$ “向上的点数为3”， $B =$ “向上的点数为6”， $C =$ “向上的点数为3或6”，则有（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $C \subseteq B$ C、 $A \cap B = C$ D、 $A \cup B = C$

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3. 自然界中很多现象都与斐波那契数有关，比如菊花､向日葵花瓣的数目都是按照这个规律生长，斐波那契数按从小到大排列为1，1，2，3，5，8，13，21，34， $\cdot \cdot \cdot$ .从不大于34的斐波那契数中任取一个数字，恰好取到偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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4. 已知i为虚数单位，若 $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} +$ i $\sin θ_{1})$ ， $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} +$ i $\sin θ_{2})$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $z_{n} = r_{n} (\cos θ_{n} +$ i $\sin θ_{n})$ ，则 $z_{1} z_{2} \cdot \cdot \cdot z_{n} = r_{1} r_{2} \cdot \cdot \cdot r_{n} [\cos (θ_{1} + θ_{2} + \cdot \cdot \cdot + θ_{n}) +$ i $\sin (θ_{1} + θ_{2} + \cdot \cdot \cdot + θ_{n})$ .特别地，如果 $z_{1} = z_{2} = \cdot \cdot \cdot = z_{n} = r (\cos θ +$ i $\sin θ)$ ，那么 $[r (\cos θ +$ i $\sin θ)]^{n} = r^{n} (\cos n θ +$ i $\sin n θ)$ ，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（）

A、若 $z = \cos \frac{π}{6} +$ i $\sin \frac{π}{6}$ ，则 $z^{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ i B、若 $z = \cos \frac{π}{5} +$ i $\sin \frac{π}{5}$ ，则 $z^{5} = 1 +$ i C、若 $z_{1} = 2 (\cos \frac{7 π}{12} +$ i $\sin \frac{7 π}{12})$ ， $z_{2} = 3 (\cos \frac{5 π}{12} +$ i $\sin \frac{5 π}{12})$ ，则 $z_{1} z_{2} = - 6 + 6$ i D、若 $z_{1} = 3 (\cos \frac{π}{12} -$ i $\sin \frac{π}{12})$ ， $z_{2} = 4 (\cos \frac{π}{4} +$ i $\sin \frac{π}{4})$ ，则 $z_{1} z_{2} = 6 + 6$ i

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5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为矩形的棱台称为刍童.如图所示的某刍童 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O_{1}$ ， $O$ 为上､下底面的中心， $O_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A_{1} B_{1} = A_{1} D_{1} = 2$ ， $A B = A D = 4$ ，侧棱 $A_{1} A$ 所在直线与直线 $O_{1} O$ 所成的角为45°，则该刍童 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为（）

A、 $28 \sqrt{2}$ B、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{56}{3}$ D、 $\frac{56 \sqrt{2}}{3}$

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6. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若 $M A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $N B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = 60 m$ ， $B C = 70 \sqrt{3} m$ ， $\tan ∠ M C A = \frac{3}{4}$ ， $\cos ∠ N C B = \frac{14}{15}$ ， $∠ M C N = 150 °$ ，则塔尖 $M N$ 之间的距离为（）

A、 $75 \sqrt{10} m$ B、 $75 \sqrt{7} m$ C、 $150 m$ D、 $75 \sqrt{2} m$

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7. 已知 $△ A B C$ 中， $3 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{A O}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A O}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{A O}$ C、 $2 \vec{A O}$ D、 $\frac{8}{3} \vec{A O}$

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8. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $B_{1} P = 2 P C$ ， $D_{1} Q = 3 Q C_{1}$ ，用经过 $B$ ， $P$ ， $Q$ 三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（）

A、 $3 \sqrt{15}$ B、 $15 \sqrt{3}$ C、 $\frac{15 \sqrt{15}}{4}$ D、 $3 \sqrt{21}$

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二、多选题

9. 某保险公司为客户定制了5个健康险种：甲，一年期短险；乙，长期医疗保险；丙， $e$ 生保；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险.险种推出一定时间后，该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，经数据处理得出如下的统计图：

若用该样本估计总体，则以下四个选项正确的是（）

A、8~29周岁人群的人均参保费用最少 B、30周岁以上人群占参保人群的70% C、51周岁以上人群的参保人数最少 D、丁险种更受参保人青睐

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10. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $a = 3$ ，且 $\sin B = 2 \sin C$ ，则（）

A、 $b = 2 c$ B、 $1 < c < 3$ C、 $△ A B C$ 可能为直角三角形 D、若 $\frac{3}{2} < c < 3$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $P$ 是线段 $C D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $B P ⊥ A C_{1}$ B、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} B$ 的体积为定值 C、异面直线 $B_{1} P$ 与 $A_{1} B$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ D、 $B_{1} P + D P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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12. 设复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ( $i$ 为虚数单位)，则下列说法正确的是（）

A、“ $z \in R$ ”的充要条件是“ $z = \overline{z}$ ” B、若 $| z | = 1$ ，则 $| z - 1 + \sqrt{3} i |$ 的最大值为3 C、若 $a = 0$ ， $b = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2021} z^{k} = 1$ D、方程 $z^{2} - 5 | z | + 6 = 0$ 在复数集中有 $6$ 个解

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三、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， 4)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，若球的表面积为 $4 π$ ，则该圆柱的体积为.

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15. 锐角 $△ A B C$ 的内切圆的圆心为 $O$ ，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $\sqrt{3} b c = (b^{2} + c^{2} - a^{2}) \tan A$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，则 $△ B O C$ 周长的取值范围为.

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16. 乒乓球比赛的11分制赛则规定：每局比赛先得11分的参赛者为胜方，若出现10平比分，则以先多得2分者为胜方；在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙发球时乙得分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各球的结果相互独立.在某局出现10平比分后，若甲先发球，则甲以 $12 ： 10$ 获胜的概率为，甲以 $13 ： 11$ 获胜的概率为.

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点.

(1)、设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B N}$ ， $\vec{C M}$ ；

(2)、若 $B N ⊥ C M$ ，求 $\cos ∠ B A C$ .

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18. 新时期党史学习教育，是党中央立足党的百年历史新起点､统筹中华民族伟大复兴战略全局和世界百年未有之大变局，为动员全党全国满怀信心投身全面建设社会主义现代化国家而作出的重大决策.某企业成立的党史学习教育督查组为调研本单位的党史学习情况，采用分层抽样方法从该企业人员中抽取一个容量为100的样本，经数据搜集与处理，得到如下频数分布表：

周学习党史时间(单位：分钟)	$[0 ， 30)$	$[30 ， 60)$	$[60 ， 90)$	$[90 ， 120)$	$[120 ， 150]$
高管人员	0	0	1	0	2
中层管理人员	1	0	2	2	4
普通员工	9	12	45	20	2

(1)、已知该企业的中､高层管理人员共有120人，求该企业普通员工的人数；

(2)、为激励先进､鞭策后进，督查组拟公布企业全体人员的周学习党史时间的平均数

P

(同一组中的数据用该组区间中点值作为代表)､第一四分位数(即第25百分位数)

M

及上四分位数(即第75百分位数)

N

，试求

P

，

M

，

N

的估计值(精确到0.1).

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 为等边三角形， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = ∠ B C D = 90 °$ ， $C D = B C = \frac{1}{2} A B = 1$ ， $E$ 为 $P C$ 中点， $F$ 为 $A B$ 中点， $C F$ 与 $B D$ 交于点 $O$ .

(1)、求证： $P F / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求直线 $P O$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值.

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20. 从① $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ ；② $(a - c) \sin A + c \sin (A + B) = b \sin B$ ；③ $\frac{\cos B}{\cos C} = \frac{b}{2 a - c}$ 这三个条件中选择一个，补充在下面试题的横线上，并完成试题解答.
设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，且___________.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，求 $B M$ 的最小值，并判断此时 $△ A B C$ 的形状.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个条件计分.

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21. 在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据(单位：cm)如下：

男生	172.0	174.5	166.0	172.0	170.0	165.0	165.0	168.0	164.0
	172.5	172.0	173.0	175.0	168.0	170.0	172.0	176.0	174.0
女生	163.0	164.0	161.0	157.0	162.0	165.0	158.0	155.0	164.0
	162.5	154.0	154.0	164.0	149.0	159.0	161.0	170.0	171.0
	155.0	148.0	172.0	162.5

(1)、从身高在

[173.0 ， 176.0]

的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于

174.5 cm

的概率；

(2)、利用所学过的统计知识比较样本中男生､女生的身高的整齐程度；

(3)、估计该中学高一年级全体学生身高的方差(精确到

0.1

参考数据： $\frac{1}{18} \sum_{i = 1}^{18} x_{i}^{2} \approx 29083.3$ ， $\bar{x} = 170.5$ ， $\frac{1}{22} \sum_{i = 1}^{22} y_{i}^{2} \approx 25799.4$ ， $\bar{y} = 160.5$ ， ${170.5}^{2} \approx 29070.3$ ， ${160.5}^{2} \approx 25760.3$ ，其中男生样本记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $x_{18}$ ，女生样本记为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $y_{22}$ .

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22. 球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，过任意两点的大圆上的劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{B C}$ ， $\overset{⌢}{C A}$ 所组成的图形称为球面 $△ A B C$ ，记其面积为 $S_{球面 △ A B C}$ .易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的 $A$ 和 $A^{'}$ ；若球面上 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对径点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ，则球面 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与球面 $△ A B C$ 全等.如图2，已知球 $O$ 的半径为 $R$ ，圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和 $\overset{⌢}{A C}$ 所在平面交成的锐二面角 $B - A O - C$ 的大小为 $α$ ，圆弧 $\overset{⌢}{B A}$ 和 $\overset{⌢}{B C}$ 所在平面､圆弧 $\overset{⌢}{C A}$ 和 $\overset{⌢}{C B}$ 所在平面交成的锐二面角的大小分别为 $β$ ， $γ$ .记 $S (α) = S_{球面 △ A B C} + S_{球面 △ A^{'} B C} + S_{球面 △ A B^{'} C^{'}} + S_{球面 △ A^{'} B^{'} C^{'}}$ .

(1)、请写出 $S (π)$ ， $S (\frac{π}{2})$ ， $S (\frac{π}{3})$ 的值，并猜测函数 $S (α)$ 的表达式；

(2)、求 $S_{球面 △ A B C}$ (用 $α$ ， $β$ ， $γ$ ， $R$ 表示).

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