北京市延庆区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，则 $i^{2} =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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2. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2 ， b = 1 ， C = \frac{π}{3}$ ，那么的面积等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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3. 在空间，给出下面四个命题：
① 三个不同的点确定一个平面；

② 一条直线和一个点确定一个平面；

③ 空间两两相交的三条直线确定一个平面；

④ 两条相交直线确定一个平面.

其中正确命题的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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4. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2 ， c = 3 ， ∠ C = \frac{π}{6}$ ，那么等于 $\sin A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $c = 3$ ， $∠ B = 60 °$ ，那么 $b$ 等于（）

A、7 B、 $\sqrt{7}$ C、19 D、 $\sqrt{19}$

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6. 复数 $(1 - i) (a + i)$ 在复平面内所对应的点在第二象限，则 $a$ 实数的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ $\cup$ $(1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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7. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，那么三棱锥 $D_{1} - A B C$ 的体积是（）

A、 $\frac{1}{2} a^{3}$ B、 $\frac{1}{3} a^{3}$ C、 $\frac{1}{4} a^{3}$ D、 $\frac{1}{6} a^{3}$

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8. 复数 $z = a + b i$ $(a ， b \in R)$ ， $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数， $| z |$ 表示 $z$ 的模，则下列各式正确的是（）

A、 $z = - \bar{z}$ B、 $z \times \bar{z} = | z |$ C、 $z^{2} = | z |^{2}$ D、 $| z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |$

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9. 已知两个平面 $α$ ， $β$ ，两条直线 $a$ ， $b$ ，给出下面的四个命题：
① $\begin{array}{l} a / / b \\ b \subset α \end{array}}$ $\Rightarrow a / / α$ ；           ② $\begin{matrix} a ⊥ α \\ b ⊥ α \end{matrix}} \Rightarrow$ $a / / b$ ；

③ $\begin{matrix} a \subset α \\ b \subset β \\ α / / β \end{matrix}} \Rightarrow a / / b$ ；           ④ $\begin{matrix} a / / α \\ b ⊥ β \\ α / / β \end{matrix}} \Rightarrow a ⊥ b$ .

其中，所有正确命题的序号是（    ）

A、①② B、②③ C、①④ D、②④

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10. 在中，给出如下命题：
① 若 $\sin^{2} A < \sin^{2} B + \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形

② 若 $c = 2 b \cos A$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形

③ 若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰直角三角形

④ 若 $a - b = c (\cos B - \cos A)$ ，则 $△ A B C$ 是等腰或直角三角形

其中，所有正确命题的序号是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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二、填空题

11. $1 - i$ 的实部等于；虚部等于.

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12. 已知 $x ， y \in R$ ， $i$ 是虚数单位， $x - i + y + x i = 3 + y i$ ，则 $x =$ ； $y =$ .

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13. 在空间中，两条平行直线是指，并且没有公共点的两条直线.

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14. $\frac{1 + i}{1 - i}$ 在复平面上所对应的点的坐标为.

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15. $△ A B C$ 中， $a = 3 ， b = 5 ， c = 7$ ，则其最大内角等于.

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是的 $C_{1} D_{1}$ 中点， $M$ 是线段 $A_{1} E$ 上的一点. 给出下列命题：

① 平面 $A B C D$ 中一定存在直线与平面 $A C M$ 垂直；

② 平面 $A D D_{1} A_{1}$ 中一定存在直线与平面 $A C M$ 平行；

③ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面 $A C M$ 所成的锐二面角不小于 $45 °$ ；

④ 当点 $M$ 从点 $A_{1}$ 移动到点E时，点 $D$ 到平面 $A C M$ 的距离逐渐减小.其中，所有真命题的序号是.

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三、解答题

17. 分别求实数x的值，使得复数 $z = (x^{2} - x) + (x^{2} - 3 x + 2) i$

(1)、是实数；

(2)、是虚数；

(3)、是纯虚数.

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18. 如图， $A B C D$ 四边形是矩形， $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ， $∠ A E B = 90^{\circ}$ ， $F$ 是 $C E$ 上的一点.

（Ⅰ）求证： $A D / /$ 平面 $B C E$ ；

（Ⅱ）求证： $A E ⊥ B F$ ．

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3 \sqrt{3}$ ， $B C = 2 \sqrt{6}$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $B$ 是钝角.
（Ⅰ）求 $B$ ；

（Ⅱ）求 $A B$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中，三内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $a = \sqrt{7}$ ， $A = 60^{\circ}$ .
（Ⅰ）若 $b c = 4 \sqrt{21}$ ，求 $B C$ 边上的高；

（Ⅱ）若 $b + c = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

（Ⅲ）求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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21. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A A_{1} = A C = 2$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ， $E$ 是棱 $A C$ 上的一点，过 $A_{1} ， B_{1} ， E$ 的平面与 $B C$ 相交于 $F$ .

(1)、求证： $A_{1} B_{1} / / E F$ ；

(2)、若 $E$ 是 $A C$ 的中点，求证：平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} E F B_{1}$ ；

(3)、求证： $A C$ 与平面 $A_{1} E B$ 不垂直.

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