北京市通州区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $z_{1} = 3 - 4 i， z_{2} = - 2 + 5 i$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列说法不正确的是（）

A、平行六面体的侧面和底面均为平行四边形 B、直棱柱的侧棱长与高相等 C、斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高 D、直四棱柱是长方体

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3. 下列命题正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、梯形确定一个平面 C、两条直线确定一个平面 D、四边形确定一个平面

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4. 已知点A∈直线l，又A∈平面 $α$ ，则（）

A、 $l / / α$ B、 $l \cap α = A$ C、 $l \subset α$ D、 $l \cap α = A$ 或 $l \subset α$

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5. 先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（）

A、正面，反面 B、｛正面，反面｝ C、｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝ D、｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝

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6. 给定空间中的直线 $l$ 与平面 $α$ ，则“直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直”是“直线 $l$ 垂直于 $α$ 平面内无数条直线”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，如果P（AB）＝0，那么P（A $\cup$ B）等于（）

A、0.8 B、0.5 C、0.3 D、0.2

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8. 已知 $a ， β$ 是平面，m、n是直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α ， m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ B、若 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α ， α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ D、若 $m / / α ， n / / α$ ，则 $m / / n$

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9. 在△ABC中，D为BC中点，点E为AD上靠近D点的一个三等分点，若 $\vec{B E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 将边长为1的正方形ABCD沿対角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D－ABC中，给出下列四个命题：①AC⊥BD；②BD与平面ABC所成的角为 $\frac{π}{4}$ ；③△DBC是等边三角形；④三棱锥D－ABC的体积是 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ．其中正确命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 已知 $z (1 + 2 i) = 4 + 3 i$ ，则z＝．

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12. 袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于．

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13. 已知半径为R的球，其表面积为S，体积为V，若S＝V，则R＝．

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14. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：
①D₁P∥平面A₁BC₁；②D₁P⊥BD；③平面PDB₁⊥平面A1BC₁；④三棱锥A₁﹣BPC₁的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是．

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15. 在一次文艺比赛中，12名专业人土和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一选手的打分：
小组A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45

小组B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47

B小组的第75百分位数是；从评委打分相似性上看更像专业人士组成的小组是．

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16. 已知点A（1，1），点B（5，3），将向量 $\vec{A B}$ 绕点A逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ ，得到向量 $\vec{A C}$ ，则点C坐标为； $| \vec{B C} | =$ ．

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三、解答题

17. 某公司入职笔试中有两道必答题，某应试者答对第一题的概率为0.9，答对第二题的概率为0.8，假设每道题目是否答对是相互独立的．

(1)、求该应试者两道题都答对的概率；

(2)、求该应试者只答对一题的概率．

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18. 某校从参加高一年级期中考试的学生中抽取n名学生，统计了他们的某科成绩（成绩均为整数，且满分为100分），绘制成频率分布直方图如图所示，已知分数在[40，50）的频数为2．

(1)、求a，n的值；

(2)、抽取n名学生中，甲同学期中该科成绩为45分，乙同学期中该科成绩为93分．若从[40，50）内的两名同学中选一人，从[90，100]中选出两名同学组成学习小组，求甲、乙两同学恰好在该小组的概率；

(3)、假设[40，50）内的两名同学在期末考试中，甲同学该科考了68分，另一名考了72分，样本中其他学生该科期末成绩不变，试比较n名学生期中成绩方差 $s_{1}^{2}$ 与期末成绩方差 $s_{2}^{2}$ 的大小、（结论不要求证明）

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19. 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，AC＝BC，F是BE中点．

(1)、求证：DC∥平面AEB；

(2)、求证：DF⊥平面AEB．

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20. 已知向量 $\vec{m} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \cos θ) ， \vec{n} = (1 ， - 2 \sin θ) ， θ \in [0 ， π]$ ．

(1)、求向量 $\vec{m}$ 的模的取值范围；

(2)、从条件①： $\overset{⇀}{m} / / \vec{n}$ ，②： $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ 这两个条件中选择一个作为条件，求向量 $\vec{a} = (\cos θ ， \sin θ)$ 与 $\vec{n}$ 夹角的余弦值．（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）

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21. 在△ABC中，已知AB＝2， $∠ B A C = \frac{π}{3} ， \cos ∠ A C B = \frac{4 \sqrt{19}}{19}$ ，D为AC中点．

(1)、求BC的长；

(2)、求BD的长及△BCD的面积．

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22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，点E，F分别是PD，BC的中点．

(1)、求证：平面PBC⊥平面PDC；

(2)、在线段PC上确定一点G，使平面EFG∥平面PAB，并给出证明；

(3)、求二面角P－AC－D的正弦值，并求出D到平面PAC的距离．

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